01 Límites Y Continuidad

Universidad Viña del Mar
Departamento de Ciencias Básicas

MÓDULO UNO: LÍMITES Y CONTINUIDAD
EJEMPLOS INTRODUCTORIOS:
1. Considere la función

f ( x) =

x2 − 9
x+3

a) ¿Existe f (−3) ?

f (x) con cercanos a -3 (por cualquiera de los lados
de -3). Investigue qué pasa con las imágenes f (x) cuando x se acerca a -3.

b) Haga una tabla de valores de

x3 − 8
,
x−2
a) ¿Cuál es el Dom f ?

2. Sea

f (x) =

b) Considere la tabla:

f ( x) =

x
1,5
1,9
1,99
2
2,001
2,01
2,1

x3 − 8
x−2

≈ 9,25
11,41
11,94
No existe
12,006
12,06
12,61

En la tabla se observa que cuando x se aproxima a 2 (pero x es diferente de 2),

f ( x) se

aproxima al valor 12. Lo anterior lo denotaremos como:

lim f ( x) = 12
x→2

(límite de

f (x) cuando tiende a 2 es igual a 12).

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE:
Decir que,lim f ( x) = L
x →c

significa intuitivamente que f (x ) tiende a estar cada vez más cerca de L cuando x se
acerca cada vez más a c.
Una vez que decidimos qué tan cerca de L queremos que esté f (x ) , es necesario que

f (x ) esté cerca de L para toda x suficientemente cercana (pero no igual ) a c.

Universidad Viña del Mar
Departamento de Ciencias Básicas

Teoremas:
Si a es una constante y
a)lim
x=c
x→c

b)

lim
a=a
x→c

lim
f ( x ) , lim g ( x )
x→c
x→c

existen, entonces:

c)

 f ( x ) + g ( x )  = lim f ( x ) + lim g ( x )
lim
x→c 
x →c
x→c

d)

 f ( x ) − g ( x )  = lim f ( x ) − lim g ( x )
lim
x→c 
x →c
x→c

e)

 a ⋅ f ( x )  = a ⋅ lim f ( x )
lim
x→c 
x →c

f)

 f ( x ) ⋅ g ( x )  = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
lim
x→c 
x →c
x→c

g)

lim

x→c

h)

 f ( x )  =lim f ( x ) 
lim
x→c 
x→c

f ( x)
 f ( x )  lim
x →c
si lim g ( x ) ≠ 0
=

x →c
g ( x)
 g ( x )  lim
x →c
n



n



Ejemplo: Calcule los siguientes límites:
a)

lim

d)

lim
x→4

x →2

2x − 3
4

x + 12 − 4
4− x

b)

lim

33x + 12
22 x 2 − 24

c)

lim
x →3

e)

lim
x →1

x −1
x2 − 1

f)

lim
x → −1

x→0

x2 − x − 6
x2 − 9
3

x+9 −2
x +1

Observación: Note que para calcular algunos de loslímites anteriores es necesario realizar
algún tipo de factorización.
Ejemplo: Mediante una tabla de valores encuentre el valor de

x
-0,01
-0,005
-0,001
0
0,001
0,005
0,01

f ( x) =

sen x
x

0,99998333
0,99999583
0,99999983
No existe
0,99999983
0,99999583
0,99998333

El ejemplo anterior nos permite visualizar el siguiente teorema:

lim
x →0

sen( x)
x

Universidad Viña del Mar
Departamento deCiencias Básicas

Teorema:

lim
x →0

sen( x)
=1
x

Ejemplo: Calcule los siguientes límites

lim

a)

x →0

sen(5 x)
2x

b)

lim
x→ 0

LÍMITES LATERALES
Límites por la derecha y por la izquierda:
Decir que lim+ f ( x ) = L significa que cuando
x →c

sen(3x )
sen( x )

x está cerca, pero a la derecha de c ,

entonces f (x ) está cerca de L . De manera análoga, decir que
que cuando

lim f ( x) = L ,significa
x →c −

x está cerca, pero a la izquierda de c , entonces f (x) está cerca de L .

Ejemplo:
En el siguiente gráfico vemos una función definida por partes. En este caso si x se
acerca a 1 por la izquierda (es decir por valores menores 1) entonces la función f(x)
se acerca a 2. Sin embargo, si x se acerca a 1 por la derecha (es decir valores
mayores que 1) la función f(x) se acerca a 3.
Deesta manera podemos escribir:

lim f ( x) = 2

lim f ( x) = 3

x →1+

x →1−

Ahora bien, ¿Qué ocurre en el caso anterior con

lim
f ( x) ? El siguiente teorema nos
x →1

permite responder esta interrogante.
Teorema:

lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) = L
x→c

x→c

x→c

Universidad Viña del Mar
Departamento de Ciencias Básicas

En el ejemplo anterior como

lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x →1+

x→1−

entonces

lim
f ( x) no existe.
x →1

Ejemplos:
1.

Calcule los límites laterales de la función f (x ) en el punto x = 10 , indicando si existe
el límite de la función en dicho punto

 x + 2 ; x < 10
f ( x) = 
22 − x ; x ≥ 10
2.

Calcule los límites laterales de la función f (x ) en el punto x = 2 , indicando si existe
el límite de la función en dicho punto.

x − 5 ; x < 2
f ( x) = ...