01 P1 1

SOLUCION PRIMERA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALES
Ingeniería Civil Código 9009
Primer Semestre 2001

Problema 1.

Considere la ecuación diferencial

a)
Encuentre solución particular de la forma

.b)
Encuentre la solución general.
c)
Encuentre la solución particular que pasa por el punto

Solución.

a) Poniendo

tenemos

es decir

que implica

Use our professional PDF creation service athttp://www.htm2pdf.co.uk!

y el intervalo máximo donde está definida.

y reemplazando en la ecuación

Este bloque 0.5 puntos

b) Como nuestra ecuación es una ecuación de Ricatti, hacemos la sustituciónTenemos

y reemplazando en la ecuación obtenemos

que se reduce a

Por lo tanto

Luego la solución general de nuestra ecuación es

Use our professional PDF creation service at http://www.htm2pdf.co.uk!Este bloque 1.0 puntos

c) Para encontrar la solución que pasa por el punto

debemos tener

Luego la solución particular buscada es

y como

el intervalo máximo donde está definida es

.

Este bloque0.5 puntos
Total Pregunta 1) 2 puntos
Problema 2.

Un objeto de un kilo de masa es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Luna con velocidad inicial

Kilomillas/ Hora. Se suponeque la única fuerza que domina es la fuerza gravitacional y que ésta es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia al centro de la Luna. Considerando
Kilomillas como radio de Luna yKilomillas/
como la gravedad sobre la
superficie de la Luna, encuentre:
Use our professional PDF creation service at http://www.htm2pdf.co.uk!

a)
Velocidad del objeto en función de su distancia al centrode la Luna.
b)
Altura máxima que alcanza el objeto.

Solución.

a) Si

es la distancia a que se encuentra la partícula en el instante

Para calcular la constante de proporcionalidad

, medida desde elcentro de la Luna, tenemos la ecuación

, observamos que

Este bloque 0.5 puntos

De esta forma tenemos la ecuación

Como queremos la velocidad del objeto en términos de la distancia

Entonces...