01 TallerVecto2aa1

Universidad Tecnológica Metropolitana
Departamento de Matemática

Ejercicios Resueltos.(Versión 1.1)

(Vectores geométricos)
Los enunciados corresponden a ejercicios propuestos en el libro ”Cálculo Diferencial e Integral”
de F. Ayres y E. Mendelson , colección Schaum, Ed. McGrawHill, 3a. edición. Capítulo 65 ,
problemas suplementarios.
La resolución de los ejercicios expuestos aquí no es laúnica, ni necesariamente la más elegante,
asi que quedan invitados a buscar caminos originales. Se les pide, además, reportar los errores
detectados.
1.

Calcular la longitud de:
a.
b.
c.

2.

El vector ⃗a = 2î + 3̂ + k̂
El vector ⃗b = 3î − 5̂ + 9k̂
El vector ⃗c que une P 1 (3,4,5) con P 2 (1, −2,3)
Resolución:
a) ‖⃗a ‖ = 2 2 + 3 2 + 1 2 = 14 , ■
b) ⃗b = 3 2 + (−5) 2 + 9 2 = 115
■
c) Los vectoresposición de P 1 y P 2 son ⃗p 1 = 3î + 4̂ + 5k̂ y ⃗p 2 = î − 2̂ + 3k̂ entonces
⃗c = P 1 P 2 = ⃗p 2 − ⃗p 1 = î − 2̂ + 3k̂ − 3î + 4̂ + 5k̂ = −2î − 6̂ − 2k̂ y por lo tanto
■
‖⃗c ‖ = (−2) 2 + (−6) 2 + (−2) 2 = 44 = 4 ⋅ 11 = 2 11 .

Para los vectores del ejercicio anterior:
a. Probar que ⃗
ay⃗
b son perpendiculares.
b. Hallar el menor ángulo entre ⃗
a y ⃗c y entre ⃗
b y ⃗c.
c. Hallar los ángulos de ⃗
bcon los ejes coordenados.
Resolución:
a) ⃗a ∙ ⃗b = (2î + 3̂ + k̂ ) ⋅ (3î − 5̂ + 9k̂ ) = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ (−5) + 1 ⋅ 9 = 0 por lo tanto ⃗a y ⃗b son
perpendiculares.
b) Entre ⃗a y ⃗c : Como
̂
̂
cos(θ) = ⃗⃗a ∙ ⃗c⃗ = (2î + 3̂ + k) ⋅ (−2î − 6̂ − 2k) = −4 − 18 − 2 = −12
≈−
‖a ‖‖c ‖
14 ⋅ 2 11
14 ⋅ 2 11
14 ⋅ 11
por lo tanto θ = 165.24 o y el menor ángulo correspondiente es θ o = 14.76 o .
Entre ⃗b y ⃗c :Como
̂
̂
⃗
3
cos(θ) = ⃗b ∙ ⃗c = (3î − 5̂ + 9k) ⋅ (−2î − 6̂ − 2k) =
≈ 0.8435
115 ⋅ 2 11
115 ⋅ 11
b ‖⃗c ‖
por lo tanto θ = 85.16 o ■
̂
c) Con eje OX : cos(α) = (3î − 5̂ + 9k) ∙ î = 3 ≈ 0.2798 , luego α = 73.75 o ■
115
115
(3î − 5̂ + 9k̂ ) ∙ ̂
= −5 ≈ −0.4663 , luego β = 117.79 o
■
Con eje OY : cos(β) =
115
115
Cálculo en Varias Variables - semestre I - 2008

Prof. Hernán Serrano

1

UniversidadTecnológica Metropolitana
Departamento de Matemática
̂ ̂
Con eje OZ : cos(γ) = (3î − 5̂ + 9k) ∙ k
115
3. Determinar los ángulos:

=

9
115

≈

0.8393 , luego

γ=

32.94 o

■

Para el cubo unidad de la figura 1.
Hallar:
a)El ángulo entre su diagonal y un lado.
b)El ángulo entre su diagonal y una
diagonal de una cara.
Resolución:
La diagonal del ”cubo unitario” corresponde al vector ⃗v = î + ̂ +k̂ y la diagonal de, por
ejemplo, la cara inferior es ⃗u = î + ̂ entonces
(i) El ángulo entre la diagonal del cubo y un lado se puede obtener de
̂ ̂
cos(α) = (î + ̂ + k) ∙ k = 1 = 33 ≈ 0.5774
3
3
o
y luego α = arccos(0.5774) = 54.74 . ■
(ii) El ángulo entre la diagonal del cubo y la diagonal de la cara inferior se puede obtener de
̂
cos(β) = (î + ̂ + k) ∙ (î + ̂) = 2 = 36 ≈ 0.8165
3⋅ 2
6
o
yluego β = arccos(0.8165) = 35.26
■
4.

Dados los vectores
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.

⃗a = î + ̂ , ⃗b = î − 2k̂

y

⃗c = 2î + 3̂ + 4k̂ calcular :

⃗a × ⃗b
⃗b × ⃗c
⃗c × ⃗a
(⃗
a+⃗
b) × (⃗
a−⃗
b)
⃗
⃗a ∙ (⃗a × b)
⃗a ∙ (⃗b × ⃗c)
⃗a × (⃗b × ⃗c)
⃗c × (⃗a × ⃗b)

.Resolución:

Cálculo en Varias Variables - semestre I - 2008

Prof. Hernán Serrano

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Departamento deMatemática
î ̂

k̂

î ̂

k̂

(a) ⃗a × ⃗b = 1 1 0
1 0 −2
(b)⃗b × ⃗c = 1 0 −2
2 3 4
î ̂ k̂

(c) ⃗c × ⃗a = 2 3 4
1 1 0

= −2î + 2̂ − k̂

= 6î − 8̂ + 3k̂

= −4î + 4̂ − k̂
î ̂

k̂

(d) (⃗a + ⃗b) × (⃗a − ⃗b) = (2î + ̂ − 2k̂ ) × (̂ + 2k̂ ) = 2 1 −2
0 1 2

= 4î − 4̂ + 2k̂

(e) ⃗a ∙ (⃗a × ⃗b) = (î + ̂) ∙ (−2î + 2̂ − k̂ ) = −2 + 2 = 0
Se puede responder sin ningún cálculo puesto que (⃗a × ⃗b) esperpendicular con ⃗a .
(f) ⃗a ∙ (⃗b × ⃗c) = (î + ̂) ∙ (6î − 8̂ + 3k̂ ) = −2
î

̂

k̂

(g) ⃗a × (⃗b × ⃗c) = (î + ̂) × (6î − 8̂ + 3k̂ ) = 1 1 0
6 −8 3
(h) ⃗c × (⃗a × ⃗b) = (2î + 3̂ + 4k̂ ) × (−2î + 2̂ − k̂ ) =

5.

6.

î

= 3î − 3̂ − 14k̂

̂

k̂

2 3 4 = −11î − 6̂ + 10k̂ .
−2 2 −1
Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son OA, OB y OC donde A(1,2,3), B(1,1,2)
y C(2,1,1) ....