01 Vectores Presentaci N

Sistemas de Coordenadas.
Es un conjunto de valores y puntos que permiten
R n de cualquier punto en el espacio
definir la posición
Euclideano
Consiste en:
 Un punto de referencia llamado origen
 Ejes específicos con escalas y marcas
 Metodología para indicar un punto con respecto
y al
y
origen y los ejes
2
2

4

4

2

0

2

4

x

4

2

0

2

4

2

x

4

2

2

z

R1 Espaciounidimensional

R 2 Espacio bidimensional

2

2

4

x

2

4

R 3 Espacio tridimensional
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Sistemas de Coordenadas.
Existen varios tipos de sistemas coordenados y se
utilizan en conveniencia dependiendo de la simetría
del problema.

Coordenadas
cartesianas

( x, y , z )

Coordenadas
cilíndricas

(r , , z )

Coordenadas
esféricas

(r , ,  )

Diferentes tipos de sistemascoordenados en tres
dimensiones.
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Coordenadas cilíndricas
bidimensionales (polares)

El sistema de coordenadas cilíndricas en 2
dimensiones se denomina:
“sistema de coordenadas polares”.
Para ubicar un punto con este sistema de
coordenadas se utiliza una distancia del origen hacia
el punto r y un ángulo  que crece en contra de las
y
manecillas del reloj a partirdel eje x positivo.

p( r ,  )

r


x

En ocasiones es necesario hacer la conversión de las
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Conversión de coordenadas
- Rectangulares
Para realizarPolares
las conversiones
entre coordenadas se
utilizan métodos trigonométricos

x

y
 y
  tan 1  
 x

r cos 

Pol Rec

r  x2  y2

x  r cos 

 y
  tan  
 x

y  r sin 

p

r  x2  y 2
r sin

Rec Pol

1

swf
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Ejemplo 1
Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano
x y son p =(-3.5,-2.5)m, como se muestra en la figura.
Encuentre las coordenadas polares de estey punto.


x

r

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Ejercicios.
Realice las siguientes conversiones entre coordenadas
polares y rectangulares.
grafique
los de:
resultados.
ConvertirRec
Convertir de: Pol
 Pol
P1   2, 2 

 Rec

P1   2, 30 

P3   4, 4 

P3   4,35 

P2   3,3

P2   3, 200 

P4   5, 5 

P4   5,100 

swf
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Cantidades Vectoriales y
Escalares.

Una cantidad física se denomina escalar cuando
esta es representa completamente con un número con
una unidad apropiada.
 tiempo
30 s
 temperatura 40°c
masa
35kg
Para una magnitud vectorial se necesita algo más
que un número para representarla completamente. Es
necesario una dirección adicional.
 Fuerza
100 N hacia el este
r
r
F

m
a
 velocidad
33 m/s hacia el norte
 aceleración
9.8 m/s2 hacia abajo
 desplazamiento 25 km de Altamira hacia Tampico
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Notación Vectorial.
Para representar
una cantidad vectorialse dibuja
r
una flecha a
sobre la letra que indica el vector “
”
(vector “a”). Otra manera es utilizar negritas (utilizada
en los libros) “a”
Es necesario marcar la diferencia entre las
coordenadas de un vector donde
se utilizan los
r
 ax , ay y las coordenadas
a  ax , ade
y
paréntesisaangulares
un punto,
y





ay

y

ay

ax

x

ax

x

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Magnitud y Direcciónde un
Vector

La magnitud o el “tamaño” de un vector se obtiene
aplicando el teorema de Pitágoras a las componentes
de dicho vector. La magnitud de un vector siempre es
positiva y se indica colocando dos barras a la letra
r vector.
que indica el
a  a2  a2
x

y

Magnitud del vector a

r
a

En dos dimensiones se puede determinar la dirección
ay utilizando una analogía con la
1 
de un vector(ángulo)
  tan  
Dirección del vector a
conversión de coordenadas
rectangulares a polares.
 ax
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Ejercicios
Utilizando los siguientes vectores
r
r
r
r
r
a  1,1,1 ; b  3, 4, 7 ; c  9,1, 6 ; d  5, 0, 3 ; e  2, 8, 4
Determine la magnitud de:
r
a) a
r
b) b
r
c) c
r
d) d
r
e) e

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Suma de Vectores: Método
gráfico...