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Algebra Recreativa

Yakov Perelman

Capítulo Segundo
EL IDIOMA DEL ALGEBRA
Contenido
1. El arte de plantear ecuaciones
2. La vida de Diofanto
3. El caballo y el mulo
4. Los cuatro hermanos
5. Las aves de la orilla
6. E1 paseo
7. E1 artel de segadores
8. Las vacas en el prado
9. El problema de Newton
10. E1 cambio de las manecillas del reloj
11. Coincidencia de las saetas
12. E1 arte de adivinarnúmeros
13. Un supuesto absurdo
14. La ecuación piensa por nosotros
15. Curiosidades y sorpresas
16. En la peluquería
17. El tranvía y el peatón
18. El barco y la balsa
19. Dos botes de café
20. Velada
21. Exploración marina
22. En el velódromo
23. Carrera de motocicletas
24. Velocidad media
25. Máquinas de cálculo rápido

1. El arte de plantear ecuaciones.
El idioma del álgebra es la ecuación."Para resolver un problema referente a números o relaciones
abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma
algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac
Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:
En la lengua vernácula:
En el idioma del álgebra:
Un comerciantetenía una determinada suma
x
de dinero
El primer año se gastó 100 libras
x - 100
( x − 100) 4 x − 400
Aumentó el resto con un tercio de éste
( x − 100 ) +
=
3
3
4 x − 400
4 x − 700
Al año siguiente volvió a gastar 100 libras
− 100 =
3
3

Patricio Barros

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y aumentó la suma restante en un tercio de ella
El tercer año gastó de nuevo 100 libras
Después de que hubo agregado sutercera
parte
el capital llegó al doble del inicial

Yakov Perelman

4 x − 700 4 x − 700 16 x − 2.800
+
=
3
9
9
16 x − 2800
16 x − 3700
− 100 =
9
9
16 x − 3700 16 x − 3700 64 x − 14800
+
=
9
27
27
64 x − 14800
= 2x
27

Solución
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última
ecuación.
La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; encambio, plantear la ecuación a base
de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones
consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el idioma del
álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil
traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad,como puede
convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos.
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2. La vida de Diofanto
Problema
La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la
antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en
su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático.Reproducimos esta
inscripción:

En la lengua vernácula
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de
Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh,
milagro!, cuán larga fue su vida,
cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.
Había transcurrido además una duodécima parte
de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en
un matrimonio estéril.
Pasó unquinquenio más y le hizo dichoso el
nacimiento de su precioso primogénito,
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a
la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su
padre
Y con profunda pena descendió a la sepultura,
habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su

En el idioma del álgebra:
x
x/6
x / 12
x/7
5
x/2
x=

x x x
x
+ + +5 + + 4
6 12 7
2
Patricio Barros

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YakovPerelman

hijo
Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte.
Solución
Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes datos
biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y
murió a los 84.
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3. El caballo y el mulo
Problema
He aquí un antiguo ejercicio muy sencillo y fácil de...