010747

CASTILLA LA MANCHA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS II / GEOMETRÍA /
CUARTO BLOQUE / PREGUNTA A

BLOQUE 4
PREGUNTA A
⎧ x + 2z = 3
Se considera la recta r ≡ ⎨
yel plano π ≡ 3x − y + 2 z = 1 . Se pide:
⎩ y + 4z = 5
a) Comprueba que r y π son paralelos.
b) Calcula la distancia entre r y π.
c) Determina dos rectasdistintas que estén contenidas en π y sean paralelas a r.
Solución:
⎧ x + 2z = 3
⇒ despejando x e y en función de z, y haciendo z = t, se obtienen las
a) r ≡ ⎨
⎩ y+ 4z = 5
⎧ x = 3 − 2t
⎪
ecuaciones paramétricas de r: r ≡ ⎨ y = 5 − 4t
⎪ z=t
⎩
Para que la recta sea paralela al plano es necesario que los vectores normal alplano y el
de dirección de la recta sean perpendiculares y, además, cualquier punto de la recta no
pertenezca al plano.
r
r
Como vπ = (3, −1, 2) y v r = (−2−4, 1), su producto escalar es:

r
r
vπ · v r = (3, −1, 2) · (−2 −4, 1) = −6 + 4 + 2 = 0.
Por tanto, los vectores son perpendiculares.
Como el punto (3, 5, 0) de rno es del plano, pues 3 · 3 − 5 + 2 · 0 = 4 ≠ 1, la recta y el
plano son paralelos.
b) d(r, π) = d(P = (3, 5, 0), π) =

3·3 − 5
3 2 + (−1) 2 + 2 2

=

4
14=

2 14
7

c) Tomamos dos puntos de π, por ejemplo A = (1, 0, −1) y B = (0, −1, 0). Para que sean
paralelas, las rectas pedidas deben tener la misma dirección.Por tanto son:
⎧ x = 1 − 2t
⎧ x = −2t
⎪
⎪
r1 ≡ ⎨ y = −4t y r2 ≡ ⎨ y = −1 − 4t
⎪ z = −1 + t
⎪ z =t
⎩
⎩

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