011AnalisisDeSenal 1

Señales periódicas. Una función o señal periódica f(t), es aquella que retoma el mismo valor al cabo de un tiempo característico T denominado período, esto es:
f(t + T) = f(t) cualquiera sea T
En una señal periódica existe una cierta forma que se repite una y otra vez en cada período T. Esta forma que se repite una y otra vez se denomina forma de onda de la señal. Para caracterizar lavariación en el tiempo de una señal periódica no es suficiente, como en el caso de una simple función sinusoidal, con dar su período T (o su frecuencia f = 1/T). Las funciones periódicas con el mismo período T pueden tener formas de ondas muy diferentes (ver Fig.1). Surge por lo tanto la pregunta: ¿cómo se puede caracterizar una función periódica?
Un ejemplo bien conocido de señales periódicasno sinusoidales es el de los sonidos complejos. En la Fig.2 se muestra las variaciones de la presión acústica del aire, (captada por un micrófono y convertida en señal eléctrica) producidas por un violonchelo y una flauta que tocan la misma nota. En las dos trazas observamos la misma periodicidad, pero algunos de sus detalles son muy diferentes y reflejan la diferente sensación que producen en elsentido de la audición estos sonidos: el sonido representado por (b) pone en juego oscilaciones más rápidas y “suena” más agudo.
Construcción de señales periódicas. Tratemos de construir una función periódica, de periodo T, a partir de las funciones periódicas más simples que conocemos, es decir de los senos y los cosenos. Si a una función sinusoidal de período T se le suma otra de período T/n(n entero) la función resultante sigue siendo de período T (una función de período T/n es también de período T). A esta nueva componente se la denomina armónica de la función de partida. La armónica n tiene una frecuencia fn = nf1 donde f1 = 1/T.
En conclusión: la superposición de oscilaciones sinusoidales de frecuencia f1 , f2 = 2f1, f3 = 3f1, ... fn = nf1, es una función periódica deperíodo T = 1/f1 . La frecuencia más baja se denomina frecuencia fundamental y la frecuencia fn = nf1 es el armónico n de la frecuencia fundamental.
Ejemplo. La superposición de oscilaciones sinusoidales de frecuencias f1 = 1 Hz, f2 = 2f1 = 2 Hz, f3 = 3f1 = 3 Hz, etc. es una función periódica de período T = 1/f1 = 1s, pues en ese intervalo de tiempo, la oscilación fundamental completaexactamente un ciclo, dos la segunda componente, tres la tercera y así siguiendo (ver Fig.3). Como cada componente completa un número entero de ciclos cada 1 s, la superposición completa se repetirá después de transcurrido 1 s. Una oscilación de 1.5 Hz, hace 1,5 ciclos en 1 s y, por lo tanto, si la agregamos a la superposición ésta no se repetirá cada 1 s.
Teorema de Fourier. El argumento de lasección anterior nos lleva a pensar que toda función periódica de período T puede representarse como una suma de funciones sinusoidales de período T/n (donde n es un número entero mayor o igual que 1). Esta proposición ha sido demostrada por Fourier (matemático francés del siglo XIX). El enunciado del teorema de Fourier es el siguiente:
Cualquier función periódica f(t) de período T, siempreque cumpla con ciertas condiciones, puede considerarse como la superposición de oscilaciones sinusoidales puras de frecuencias crecientes fn = nf1, múltiplos enteros de la frecuencia f1 = 1/T denominada frecuencia fundamental:

Esta descomposición es única: existe un solo conjunto de armónicos que sumados reproducen la forma de onda.
La señal armónica que se obtiene superponiendo un conjunto dearmónicos no depende solamente de las amplitudes An de cada una de las componentes sino también de sus fases relativas n. En las figuras 4a y 4b se muestra la superposición lineal de tres armónicos sucesivos, de frecuencias 1 Hz, 2Hz y 3Hz respectivamente, con las mismas amplitudes pero con fases diferentes: observemos que el aspecto de la curva, (la forma de onda), se modifica mucho.
El...