01Interpolacion_Newton

Interpolaci´on:
Interpolaci´on con incrementos constantes
Ing. Jes´
us Javier Cort´es Rosas
M. en A. Miguel Eduardo Gonz´alez C´ardenas
M. en A. V´ıctor D. Pinilla Mor´an *
2011

Resumen
Introducci´
on. Tablas de diferencias finitas. Interpolaci´on con incrementos constantes:
polinomios interpolantes. Diagrama de rombos. Ejemplos de aplicaci´on. Consideraciones sobre
el error. Conclusiones.

1.Introducci´
on

La pr´actica de la Ingenier´ıa involucra directamente procesos que implican la captura de informaci´
on
obtenida a trav´es de sistemas de instrumentaci´on y control; estos sistemas monitorean diferentes
fen´omenos f´ısicos y en consecuencia, la informaci´on recolectada corresponde directamente al comportamiento del fen´
omeno. La informaci´on consiste en datos num´ericos obtenidospor muestreos
normalmente referidos a una base temporal, pero en todo caso, son n´
umeros que deben procesarse
de acuerdo a modelos te´
oricos matem´
aticos. Esto implica que se dispone de funciones matem´
aticas
en forma tabular; la pregunta es: ¿c´
omo se deriva o integra una funci´on en forma tabular?
La respuesta m´
as sencilla es utilizar recursos muy simples que permitan obtener, a partir deestas
funciones tabulares, modelos anal´ıticos, tales como el m´etodo de los m´ınimos cuadrados que es un
modelo de correlaci´
on que aproxima cierta cantidad de puntos a la forma de una l´ınea recta, de
tal forma que la diferencia entre los puntos y la recta es m´ınima. Este modelo es v´alido, siempre
y cuando el fen´
omeno f´ısico arroje datos que tengan un comportamiento muy similar a unal´ınea
recta, lo cual, como puede percibirse, es poco com´
un.
Los m´etodos de interpolaci´
on permiten procesar a las funciones tabulares sin la necesidad de contar con su modelo anal´ıtico, aunque tambi´en permiten la obtenci´on del modelo anal´ıtico a partir
de dichas funciones, tomando en cuenta el comportamiento natural del fen´omeno y por lo tanto,
permitiendo conocer una aproximaci´
on al errorcometido.
Para el an´alisis num´erico, la interpolaci´on consiste en construcci´on de nuevos puntos partiendo de
un conjunto de puntos en forma de funci´on tabular; la interpolaci´on es un proceso propio de la
matem´atica discreta.
*

Facultad de Ingenier´ıa, UNAM. Profesores de tiempo completo del Departamento de Matem´
aticas Aplicadas de
la Divisi´
on de Ciencias B´
asicas

1

An´alisisnum´erico

2

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolaci´on [?] es la aproximaci´on de una funci´
on
complicada por una m´
as simple. Si tenemos una funci´on cuyo c´alculo resulta complicado, podemos
partir de un cierto n´
umero de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una funci´on m´
as
simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la funci´onobtenida
que si evalu´
asemos la funci´
on original, si bien, dependiendo de las caracter´ısticas del problema y
del m´etodo de interpolaci´
on usado, la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.
Las herramientas para interpolaci´
on originan a su vez instrumentos que permiten la derivaci´
on e
integraci´on num´ericas que tampoco requieren de una funci´on anal´ıtica.
Lasaplicaciones de estas herramientas tienen una fuerte presencia en los procesos computacionales
de simulaci´on y graficaci´
on de fen´
omenos f´ısicos.

2.

Tablas de diferencias finitas

Sea una funci´
on Y = f (X) definida en forma tabular [3]. Esta funci´on tabular debe tener a su
variable independiente X equiespaciada, es decir, la diferencia entre cada valor consecutivo debe
ser constante: X0 , X1 = X0+ h, X2 = X0 + 2h, X3 = X0 + 3h, ... , Xn = X0 + nh, donde h es
el espacio, com´
unmente denominado paso y en todo caso, h = cte. Para cada uno de los puntos
Xi se conoce el correspondiente valor de la variable independiente Yi , de acuerdo al arreglo tabular
mostrado en el cuadro 1.
Cuadro 1: funci´
on tabular con incrementos constantes (equiespaciada)
X
X0
X1 = X0 + h
X2 = X0 + 2h
X3 = X0...