01TERCER CORTE ESTAD

MATERIAL DEL TERCER CORTE
1.- Estimaciones por Intervalos para Medias
Se utilizará la siguiente fórmula:
X - Z σ ≤ µ ≤ X + Z σ
√n √n

X = Media de la muestra
Z = Distribución normal Z, se obtiene según nivel de confianza dado en el problema.(se utiliza tabla vista anteriormente, para hallar z)
σx = σ Error de la muestra√n
σ = desviación típica
n= Tamaño de la muestra

OBSERVACIÓN 1: Si n≥30 se usa la distribución normal Z y si n < 30 se usa la t – de students. Los valores de Z son dados de acuerdo al nivel de confianza dado en el enunciado del problema, los cuales se dan en la siguiente tabla:








NIVEL DE CONFIANZA (%)


COEFICIENTE DE CONFIANZA (Z)
99,74
3,00
99,00
2,58
98,00
97,502,33
2,24
96,00
2,05
95,45
2,00
95,00
1,96
90,00
1,645
80,00 1,28
68,27 1,00
50,000,6745



OBSERVACIÓN 2: Si n < 30 se usa la t – de students, y se utiliza la siguiente formula:
X - t s ≤ µ ≤ X + t s
(n – 1) √n (n – 1) √n

X = Media de la muestra
t = Distribución t – de students
(n – 1)
1 - = Nivel de confianza
S = Desviación estándar
OBSERVACIÓN 3: Cuando lapoblación es finita y x no se distribuye normalmente.
Generalmente si n / N ≤ 0,05 se utiliza la formulas anteriores pero si n / N ≥ 0,05 se hacen los siguientes cambios

X - Z σ (o s) N - n ≤ µ ≤ X + Z σ (o s) N - n
√n N - 1 √n N - 1

EJEMPLO 1:
Se ha calculado quela media de las puntuaciones de una muestra aleatoria de 36 estudiantes es de 2,6. Se sabe que la población se distribuye normal con una desviación típica igual a 0,3. Encuentra los intervalos de confianza al 95% y al 99% para la media de todo el grupo de estudiantes.

SOLUCIÓN
DATOS:
X = 2,6
n = 36
σ = 0,3
Z Para la parte a con el 95% se entra a la tabla y se obtiene un Z = 1,96
Z Para la parteb con el 99% se entra a la tabla y se obtiene un Z = 2,58
a) µ con un nivel de confianza del 95%
b) µ con un nivel de confianza del 99%
a) µ con un nivel de confianza del 95%
X - Z σ ≤ µ ≤ X + Z σ
√n √n
2,6 - 1,96 0,3 ≤ µ ≤ 2,6 + 1,96. 0,3
√36 √362,50 ≤ µ ≤ 2,70
b) µ con un nivel de confianza del 99%
X - Z σ ≤ µ ≤ X + Z σ
√n √n
2,6 - 2,58 0,3 ≤ µ ≤ 2,6 + 2,58 0,3
√36 √36

2,47 ≤ µ ≤ 2,73

EJEMPLO 2

Los contenidos de acido sulfúrico en 7 recipientes similarespresentan un promedio de: 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2; y 9,6 litros, con una desviación estándar de 0,283. Encuentre un intervalo de confianza al 95% para la media de todos los recipientes, suponiendo una distribución aproximadamente normal.

SOLUCIÓN
DATOS
X = 9,8 + 10,2 + 10,4 + 9,8 + 10,0 + 10,2 + 9,6 = 10
7
n = 7
S = 0,283
Nivel de Confianza =95%
Se utiliza la t – de students, ya que n ≤ 30 en este caso n = 7
Recuerde v = n - 1
n = 7 y NC = 95% se busca
tα/2 = ?
v




SOLUCIÓN
Para entrar a la tabla t – de students se necesita 1 - = Nivel de confianza

(HACER LA DIVISIÓN CON 3 DECIMALES)
1 - = 95% = 1- 0,95 = 0,05 / 2 = 0,025 y
también...