01Trigonometria

Trigonometría
M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Agosto de 2015

Tema 1

Trigonometría
Objetivo: El alumno reforzará los conceptos de trigonometría para lograr una mejor
comprensión del álgebra.

Contenido
1.1 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera.
1.2 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo.
1.3 Signo de lasfunciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes
1.4 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30, 45 y 60 grados y sus
múltiplos
1.5 Identidades trigonométricas.
1.6 Teorema de Pitágoras
1.7 Ley de senos y cosenos
1.8 Ecuaciones trigonométricas de primer y segundo grado con una incógnita

TRIGONOMETRÍA (G€®)

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Conceptos básicos

1. Trigonometría
La Trigonometría es la rama de lasmatemáticas que estudia las relaciones entre las caras y
los ángulos de un triángulo. La palabra trigonometría proviene de la palabra griega trígonos
(τριγωνοϛ) que significa triángulo y metrón (μετρον) que significa medida, etimológicamente: la
media de los triángulos. Aunque los antiguos griegos, como Hiparco y Ptolomeo, utilizaban la
trigonometría para sus estudios astronómicos (entre los años 150A. C. y 200 D. C.) o el filósofo
Tales de Mileto que utilizaba los triángulos semejantes para encontrar la altura de las pirámides
(entre los años 640 A. C. a 550 D. C.); su historia es más antigua. Por ejemplo, el escriba egipcio
Ahmes registró algunos cálculos trigonométricos rudimentarios (relativos a las relaciones de los
lados de las pirámides) en el famoso papiro Rhind alrededor del año 1650A. C.

Figura 1. (a) Hiparco (b) Ptolomeo (c) Tales de Mileto (d) El papiro Rhind

La trigonometría se distingue de la geometría elemental debido a que se tiene un uso
extensivo de ciertas funciones de ángulo, conocidas como funciones trigonométricas. Antes
de discutir estas funciones, vamos a revisar algunos conceptos básicos acerca de los ángulos.

TRIGONOMETRÍA (G€®)

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Conceptos básicosÁngulos
Un ángulo es la unión de dos rayos con un punto de inicio en común denominado vértice:

En trigonometría, en ocasiones pensamos en ángulos a través de rotaciones, es decir, vamos
a suponer que uno de los rayos lo colocamos sobre el eje X con su punto de inicio en el origen
del sistema coordenado. A este rayo lo llamaremos cara inicial del ángulo:

Vamos a dejar ese rayo fijo y pensemos queobtenemos una copia de dicho rayo y
comenzamos a girarlo. Si hacemos una rotación en el sentido contrario de las manecillas del
reloj (antihorario), decimos que la rotación es positiva, de lo contrario (giro en sentido de las
manecillas del reloj) la rotación es negativa:

TRIGONOMETRÍA (G€®)

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Conceptos básicos

El rayo al final de la rotación se denomina cara terminal del ángulo:

La medida deun ángulo es un número que indica la cantidad de rotación que separa los
rayos del ángulo. Esto genera inmediatamente un problema:

¿Cuál cantidad es la que debes cuantificar? Como se puede observar, tenemos al menos dos
ángulos que se describen en la figura anterior. Claramente estos dos ángulos tienen diferentes
medidas y aparecen representados a lo lago de la rotación:

La medida de un ánguloestá dada en grados. Los babilonios desarrollaron la idea de dividir
la circunferencia de un círculo en 360 partes iguales. De nuestras definiciones de geometría
elemental sabemos que:
a.
b.
c.
d.

Un ángulo es agudo, si éste se encuentra entre 0º y 90º.
Un ángulo es obtuso si su valor se encuentra en el rango (90º,180º].
Un ángulo es recto si es igual a 90º.
Un ángulo es lineal, si es igual a180º.

TRIGONOMETRÍA (G€®)

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Conceptos básicos

(a)

(c)

(b)

(d)

Por otro lado;
a) Dos ángulos agudos son complementarios si su suma es igual a 90º.
b) Dos ángulos que se encuentran en el rango 0º y 180º son suplementarios si su suma es
igual a 180º.
c) Dos ángulos que se encuentran en el rango 0º y 360º son conjugados si su suma es igual
a 360º.

(a)

TRIGONOMETRÍA (G€®)

(b)

(c)

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