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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:
1.- Una matriz cuadrada A y su traspuesta At tienen el mismo determinante:
Todo sumando de | A | está formado por el producto de n términos, uno de cada fila y unode cada
columna, luego pertenece también al desarrollo de | At |.

Ejemplo:

2

0

1

A = 1
0

1
0

1 = 2
1

2
At

1

= 0 1
1 1

0
0 = 2
1

2.- Si una matriz cuadrada tiene una fila con todos suselementos 0, su
determinante es nulo.
Esta propiedad es una consecuencia inmediata de la definición de determinante, ya que en
todos los productos hay un elemento de dicha fila y, por tanto, todos lossumandos son nulos.

Ejemplo:

2 3 1
0 0 0 = 0+0+0−0−0−0=0
2 1 5

3.- Si en una matriz A se permutan entre sí dos filas, se obtiene otra matriz B de
determinante opuesto.
En el desarrollo de |A| y de |B|los subíndices de columnas no cambian de orden, mientras que los de
filas se permutan dos de ellas entre sí, lo que ocasiona que las permutaciones correspondientes sean
de distinta clase, y porconsiguiente, los términos de los respectivos desarrollos son de signo
opuesto. Se tiene pues que:
|B| = -|A|

1 2 3

2 5 1

Ejemplo: 2 5 1 = 5 + 6 + 6 − 45 − 4 − 1 = − 33;

1 2 3 = 4 + 45 + 1 − 6 − 6 − 5= 33

3 1 1

3 1 1

4.- Si una matriz cuadrada A tiene dos filas iguales, su determinante es cero.
En virtud de la propiedad anterior, al intercambiar entre sí las dos filas iguales, el determinantecambia de signo. Pero por otra parte permanece invariable, es decir :

Ejemplo:

| A | = -| A |

⇒

1 2 3
1 0 −1
1 2 3

= 0−2+6−0−6+2= 0

2|A| = 0

⇒

|A|=0

5.- Si se multiplican por un número ktodos los elementos de una fila de una
matriz A, el determinante de la nueva matriz es | A | multiplicado por k
Ejemplo:

2
A = 3

1
1

0
4 = 10

2
B = 9

1 −1 2

1
3

1 −1

0
12 = 30

⇒

B = 3 A

2

6.-Si una matriz cuadrada tiene dos filas proporcionales, su determinante es cero.
Ejemplo:

1 2 5
3 6 15
1 1 1

1 2 5
= 3 1 2 5
1 1 1

= 3· 0 = 0

7.- Sean A, B y C tres matrices cuadradas iguales...