02 Polinomios

7 – Matem´aticas 1 : Preliminares

Cap´ıtulo 2

Polinomios
2.1

Introducci´
on. Nociones b´
asicas

Los conjuntos de n´
umeros Q, R y C , verifican que la suma y el producto son operaciones internas, es decir la
suma o producto de racionales es racional, de reales es real y de complejos es compleja. Adem´as, en ellos existe
inverso para la suma y para el producto (resta y divisi´on tambi´eninternas).
A los conjuntos con este tipo de caracter´ısticas se les denomina cuerpos (a los conjuntos de arriba se les
dice cuerpos conmutativos pues el producto es comnutativo, ab = ba) y se usan como conjuntos de n´
umeros (o
escalares) asociados a otros elementos: los polinomios, las matrices, los vectores, . . . .
En esta secci´
on, formalizaremos los conocidos polinomios e investigaremos algunasde sus propiedades y
tambi´en entenderemos el significado del cuerpo asociado.
Definici´
on 16.- Se llama polinomio en la indeterminada X y con coeficientes en un cuerpo conmutativo K,
a toda expresi´
on formal del tipo siguiente:
a0 + a1 X + a2 X2 + ... + an Xn , siendo a0 , a1 , . . . , an elementos de K
Los n´
umeros a0 , . . . , an son los coeficientes del polinomio, y de cada sumando ai Xi sedice el t´ermino de
grado i o monomio de grado i del polinomio. Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada X con
coeficientes en K lo denotamos por K[X] :
K[X] = a0 + a1 X + · · · + an Xn : ∀ i, ai ∈ K
Nosotros trabajaremos generalmente con K = R ´o K = C (y alguna vez con K = Q). As´ı:
R[X] =

a0 + a1 X + · · · + an Xn : ai ∈ R

es el conjunto de los polinomios reales (concoeficientes reales),

C[X] =

a0 + a1 X + · · · + an Xn : ai ∈ C

es el de los polinomios complejos (con coeficientes complejos),

Q[X] = a0 +a1 X+· · ·+an Xn : ai ∈ Q

es el de los polinomios con coeficientes racionales, . . .

Notar que por ser Q ⊆ R ⊆ C tambi´en Q[X] ⊆ R[X] ⊆ C[X] .
La letra X no representa ning´
un valor, no es una variable ni una incognita: es un mero soporte para el exponente(recordemos, polinomio=expresi´
on formal). En otras palabras lo realmente significativo del polinomio,
es la sucesi´
on ordenada de sus coeficientes. As´ı:
3 + 8X − 9X2 ≡
8X − 9X2 + 3 ≡
3 + 8X2 − 9X5 ≡
X ≡
12 ≡

(3, 8, −9, 0, 0, . . .)
(3, 8, −9, 0, 0, . . .)
(3, 0, 8, 0, 0, −9, 0, 0, . . .)
(0, 1, 0, 0, 0, . . .)
(12, 0, 0, 0, 0, . . .)

Es util abreviar la escritura de todos los t´erminos usando lanotaci´on del sumatorio
n

P (X) = a0 + a1 X + ... + an Xn =

ai Xi (por convenio, X0 = 1 )
i=0

n

Definici´
on 17.- Sea P (X) =

i

ai X un polinomio. Si an = 0 , diremos que P (X) tiene grado n , Es decir, el
i=0

mayor exponente de X que tenga coeficiente no nulo. Y lo denotaremos por gr(P ) = n .
Los polinomios de grado cero son de la forma P (X) = c, con c ∈ K y c = 0 . Al polinomio cero, P(X) = 0 ,
no se le asigna ning´
un grado.
Definici´
on 18.- Diremos que dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de cada
n

t´ermino son iguales. Es decir, si P (X) =
i=0

ai Xi y Q(X) =

m

bi Xi , entonces:

i=0

P (X) = Q(X) ⇐⇒ n = m y ∀ i, ai = bi .
Prof: Jos´
e Antonio Abia Vian

Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013

8 – Matem´aticas 1 : Preliminares

2.1Introducci´
on. Nociones b´
asicas

Expresiones tales como X2 −12 = X+5 son pues absurdas, como lo ser´ıa escribir 5 = 18 , ya que ambos polinomios
son distintos.
Ejemplo 19 Encontrar a, b, c, tales que 3X + 5X2 + 12X4 = (a + 1)X + 5X2 + 2cX4 + (2a + b)X6 .
Para que coincidan deben tener la misma sucesi´on de coeficientes, es decir,
3X + 5X2 + 12X4 ≡ (0, 3 , 5, 0, 12, 0, 0 , 0, . . ., 0, . . .),
2(a + 1)X + 5X + 2cX4 + (2a + b)X6 ≡ (0, a + 1, 5, 0, 2c, 0, 2a + b, 0, . . ., 0, . . .),
deben ser iguales. Igualando coeficiente a coeficiente se obtiene el sistema de ecuaciones:

0 = 0




3 = a+1







 5 = 5
 3 = a+1
a = 2
a = 2
0 = 0
c = 6
c = 6
=⇒ 12 = 2c
=⇒
=⇒
12 = 2c





0
=
2a
+
b
b
=
−2a
b = −4


0 = 2a + b



0
=
0


···

2.1.1

Operaciones en IK[X]
n...