02_Sist1erOrden
Páginas: 6 (1401 palabras)
Publicado: 19 de octubre de 2015
RESPUESTA TRANSITORIA
DE SISTEMAS DE 1er ORDEN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426
Profesor: Celso Montalvo
1
Comportamiento Dinámico
En un proceso industrial, el Estado Ideal es el Estado
Estacionario donde los productos tienen la calidad
constante y adecuada, el consumo de materias y energíaes
mínimo, los tiempos son óptimos y la operación es eficiente.
Sin embargo, pese al esfuerzo de los ingenieros y
operadores de planta, el Estado Ideal no es permanente y
sólo se consigue con atención constante y dedicada.
Las desviaciones del Estado Ideal deben ser eliminadas con
rapidez, pero para saber cómo eliminarlas es necesario
conocer cómo es el comportamiento dinámico del proceso y
cómoresponde ante las pertubaciones y ante los cambios y
acciones que nosotros introduciríamos para corregir las
desviaciones.
A continuación iniciaremos el estudio del comportamiento
dinámico de la llamada Respuesta de Primer Orden.
CELSO MONTALVO
2
Sistemas de Primer Orden
Un Sistema de primer Orden es
aquél cuya expresión matemática se
da con una ecuación diferencial de
1er orden.Esta ecuación describe
matemáticamente el proceso.
Consideremos el sistema mostrado:
un tanque agitado, con salida por
rebose. Evaluemos cómo varía la
Temperatura de salida, TC, ante un
cambio repentino en la Temperatura
de entrada TF. F, Cp, M ctes.
El Análisis Dinámico básico empieza
con los Balances de Materia y
Energía.
CELSO MONTALVO
dX (t )
+ B ⋅ X (t ) + C =
f (t )
dt
F TF
M TC
C TC
3 Sistemas de Primer Orden
Balance de Materias:
F − C=
dM
= 0
dt
F TF
F =C
Balance de Energía:
M TC
d (TC − TR )
dt
dT
F ⋅ Cp ⋅ TF − C ⋅ Cp ⋅ TC = M ⋅ Cp ⋅ C
dt
C TC
F ⋅ Cp ⋅ (TF − TR ) − C ⋅ Cp ⋅ (TC − TR ) = M ⋅ Cp ⋅
Tomando TR = 0:
...(1)
Para hallar la variación de la Temperatura TC debemos
hallar la solución de la ecuación diferencial.
En Estado Estacionario:
Restando (2) de(1):
F ⋅ Cp ⋅ TF 0 − C ⋅ Cp ⋅ TC 0 =
0 ...(2)
F ⋅ Cp ⋅ (TF − TF 0 ) − C ⋅ Cp ⋅ (TC − TC 0 ) = M ⋅ Cp ⋅
d (TC − TC 0 )
dt
...(3)
CELSO MONTALVO
4
Sistemas de Primer Orden
Al aplicar Transformadas de Laplace a una derivada se
requiere conocer el valor inicial de la variable.
dV (t )
L
s ⋅ V ( s ) − V (0)
=
dt
Definición de Variable de Desviación: V(t) = V(t) – V(0)
Tienela ventaja de que V(0) = V(t) – V(0) = V(0) – V(0) = 0
d V (t )
L
s ⋅ V ( s ) − V (0 )=
s ⋅ V (s)
=
dt
Aplicando variables de desviación a nuestra ecuación 3:
F ⋅ Cp ⋅ (TF − TF 0 ) − C ⋅ Cp ⋅ (TC − TC 0 ) = M ⋅ Cp ⋅
F ⋅ Cp ⋅ TF − C ⋅ Cp ⋅ TC = M ⋅ Cp ⋅
d (TC − TC 0 )
dt
Notar esta
expresión
d TC
dt
Transformando y operando con F=C:
F ⋅ Cp ⋅ TF ( s ) − F ⋅ Cp ⋅ TC ( s ) = M ⋅Cp ⋅ s ⋅ TC ( s )
τ
MCp
F ⋅ Cp ⋅ TF ( s ) =M ⋅ Cp ⋅ s ⋅ TC ( s ) + F ⋅ Cp ⋅ TC ( s ) =F ⋅ Cp ⋅ TC ( s ) ⋅
⋅ s + 1
FCp
CELSO MONTALVO
...(4)
5
Sistemas de Primer Orden
Finalmente se obtiene:
1
=
TC ( s )
⋅ TF ( s )
τ ⋅ s +1
F TF
τ=
Perturbación
Respuesta
ó Función
Transitoria
Forzante
Función de
Transferencia
M
F
M TC
C TC
Constante de
Tiempo
Consideremosel efecto del cambio en TF desde 20ºC a
50ºC:
50º
– Para t < 0, TF = 20ºC.
– Para t ≥ 0, TF = 50ºC.
20º
CELSO MONTALVO
0
t
6
Sistemas de Primer Orden
Convirtiendo a Variable de Desviación:
F TF
TF = TF ( t ) − TF ( 0 ) = 50º −20º = 30º
Transformando:
TF (=
s)
M TC
C TC
30º K
=
s
s
Operando e invirtiendo la transformada para hallar la
solución de la ecuación diferencial.
B
1
1
1 K
A
s
=
s
=
K
=
K
+
(
)
(
)
T=
T
C
F
s τs + 1
τs + 1
τs + 1 s
s ( τs + 1)
Para s = -1/τ:
1
As
Bs
= +
τs + 1 s τs + 1
Step Response
1 A ( τs + 1) B ( τs + 1)
=
+
τs + 1
s
s
Finalmente:
τ
1
1
1
TC ( s ) =K −
=
−
K
s τs + 1
s s + 1/ τ
TC (t ) =K (1 − e − t / τ ) =30 (1 − e − t / τ )
CELSO MONTALVO
30
⇒ A =1
25
⇒ B = −τ...
DE SISTEMAS DE 1er ORDEN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426
Profesor: Celso Montalvo
1
Comportamiento Dinámico
En un proceso industrial, el Estado Ideal es el Estado
Estacionario donde los productos tienen la calidad
constante y adecuada, el consumo de materias y energíaes
mínimo, los tiempos son óptimos y la operación es eficiente.
Sin embargo, pese al esfuerzo de los ingenieros y
operadores de planta, el Estado Ideal no es permanente y
sólo se consigue con atención constante y dedicada.
Las desviaciones del Estado Ideal deben ser eliminadas con
rapidez, pero para saber cómo eliminarlas es necesario
conocer cómo es el comportamiento dinámico del proceso y
cómoresponde ante las pertubaciones y ante los cambios y
acciones que nosotros introduciríamos para corregir las
desviaciones.
A continuación iniciaremos el estudio del comportamiento
dinámico de la llamada Respuesta de Primer Orden.
CELSO MONTALVO
2
Sistemas de Primer Orden
Un Sistema de primer Orden es
aquél cuya expresión matemática se
da con una ecuación diferencial de
1er orden.Esta ecuación describe
matemáticamente el proceso.
Consideremos el sistema mostrado:
un tanque agitado, con salida por
rebose. Evaluemos cómo varía la
Temperatura de salida, TC, ante un
cambio repentino en la Temperatura
de entrada TF. F, Cp, M ctes.
El Análisis Dinámico básico empieza
con los Balances de Materia y
Energía.
CELSO MONTALVO
dX (t )
+ B ⋅ X (t ) + C =
f (t )
dt
F TF
M TC
C TC
3 Sistemas de Primer Orden
Balance de Materias:
F − C=
dM
= 0
dt
F TF
F =C
Balance de Energía:
M TC
d (TC − TR )
dt
dT
F ⋅ Cp ⋅ TF − C ⋅ Cp ⋅ TC = M ⋅ Cp ⋅ C
dt
C TC
F ⋅ Cp ⋅ (TF − TR ) − C ⋅ Cp ⋅ (TC − TR ) = M ⋅ Cp ⋅
Tomando TR = 0:
...(1)
Para hallar la variación de la Temperatura TC debemos
hallar la solución de la ecuación diferencial.
En Estado Estacionario:
Restando (2) de(1):
F ⋅ Cp ⋅ TF 0 − C ⋅ Cp ⋅ TC 0 =
0 ...(2)
F ⋅ Cp ⋅ (TF − TF 0 ) − C ⋅ Cp ⋅ (TC − TC 0 ) = M ⋅ Cp ⋅
d (TC − TC 0 )
dt
...(3)
CELSO MONTALVO
4
Sistemas de Primer Orden
Al aplicar Transformadas de Laplace a una derivada se
requiere conocer el valor inicial de la variable.
dV (t )
L
s ⋅ V ( s ) − V (0)
=
dt
Definición de Variable de Desviación: V(t) = V(t) – V(0)
Tienela ventaja de que V(0) = V(t) – V(0) = V(0) – V(0) = 0
d V (t )
L
s ⋅ V ( s ) − V (0 )=
s ⋅ V (s)
=
dt
Aplicando variables de desviación a nuestra ecuación 3:
F ⋅ Cp ⋅ (TF − TF 0 ) − C ⋅ Cp ⋅ (TC − TC 0 ) = M ⋅ Cp ⋅
F ⋅ Cp ⋅ TF − C ⋅ Cp ⋅ TC = M ⋅ Cp ⋅
d (TC − TC 0 )
dt
Notar esta
expresión
d TC
dt
Transformando y operando con F=C:
F ⋅ Cp ⋅ TF ( s ) − F ⋅ Cp ⋅ TC ( s ) = M ⋅Cp ⋅ s ⋅ TC ( s )
τ
MCp
F ⋅ Cp ⋅ TF ( s ) =M ⋅ Cp ⋅ s ⋅ TC ( s ) + F ⋅ Cp ⋅ TC ( s ) =F ⋅ Cp ⋅ TC ( s ) ⋅
⋅ s + 1
FCp
CELSO MONTALVO
...(4)
5
Sistemas de Primer Orden
Finalmente se obtiene:
1
=
TC ( s )
⋅ TF ( s )
τ ⋅ s +1
F TF
τ=
Perturbación
Respuesta
ó Función
Transitoria
Forzante
Función de
Transferencia
M
F
M TC
C TC
Constante de
Tiempo
Consideremosel efecto del cambio en TF desde 20ºC a
50ºC:
50º
– Para t < 0, TF = 20ºC.
– Para t ≥ 0, TF = 50ºC.
20º
CELSO MONTALVO
0
t
6
Sistemas de Primer Orden
Convirtiendo a Variable de Desviación:
F TF
TF = TF ( t ) − TF ( 0 ) = 50º −20º = 30º
Transformando:
TF (=
s)
M TC
C TC
30º K
=
s
s
Operando e invirtiendo la transformada para hallar la
solución de la ecuación diferencial.
B
1
1
1 K
A
s
=
s
=
K
=
K
+
(
)
(
)
T=
T
C
F
s τs + 1
τs + 1
τs + 1 s
s ( τs + 1)
Para s = -1/τ:
1
As
Bs
= +
τs + 1 s τs + 1
Step Response
1 A ( τs + 1) B ( τs + 1)
=
+
τs + 1
s
s
Finalmente:
τ
1
1
1
TC ( s ) =K −
=
−
K
s τs + 1
s s + 1/ τ
TC (t ) =K (1 − e − t / τ ) =30 (1 − e − t / τ )
CELSO MONTALVO
30
⇒ A =1
25
⇒ B = −τ...
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