02_Sist2doOrden
Páginas: 3 (540 palabras)
Publicado: 19 de octubre de 2015
RESPUESTA TRANSITORIA
DE SISTEMAS DE 2do ORDEN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426
Profesor: Ing. CelsoMontalvo
1
Sistemas de Segundo Orden
Un Sistema de 2do Orden es aquél cuyo modelo matemático se
expresa con ecuaciones diferenciales de 2do Orden.
dX (t )
d 2 X (t )
k
+
+ X (t ) = f (t )
dt
dt 2
Su Función de Transferencia se expresa como:
1
Y ( s ) = 2 2
X ( s )
τ
ζτ
2
1
s
s
+
+
Operando:
Y (s)
1
1/τ 2
1
1
= 2 2
=
=
=
2
X ( s ) τ s + 2ζτs + 1 ( s + r1 )( s + r2 ) (τ 1s +1)(τ 2 s + 1) τ 1τ 2 s + (τ 1 + τ 2 ) s + 1
donde:
r1, 2
ζ 2 −1
ζ
=− ±
τ
τ
τ = τ 1τ 2
ζ=
τ1 + τ 2
2τ
τ es la constante de tiempo de 2do orden
ζ es el factor de amortiguación
Amboscaracterizan un Sistema de 2do Orden.
CELSO MONTALVO
2
Sistemas de Segundo Orden
ζ<1
ζ>1
ζ=1
Cuando ζ < 1 el sistema es subamortiguado y oscilatorio.
Cuando ζ = 1 el sistema es críticamenteamortiguado, equivalente
a dos sistemas de 1er orden iguales en serie.
Cuando ζ > 1 el sistema es sobreamortiguado y no oscilatorio.
CELSO MONTALVO
3
Sistemas de Segundo Orden
Step Response
1
1erOrden con 0.9
τ=1
Amplitude
0.8
System: untitled2
Time (sec):
0.7 1
Amplitude: 0.632
1er Orden con τ = 2.15
0.6
System: S1
Time (sec): 2.15
Amplitude: 0.632
0.5
2do Orden con τ =
2.23 y ζ =1.34
0.4
0.3
2do Orden con τ = ζ = 1
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
Comparación de la Respuesta Transitoria de Procesos de 1er y
2do Orden.
CELSO MONTALVO
4
Sistemas deSegundo Orden
La curva del sistema de 2da orden está normalizada:
Step Response
1.5
Disparo (overshoot):
(Máxima Desviación)
Velocidad de Amortiguación:
(Razón de Asentamiento)
Tiempode Levantamiento:
Tiempo de Asentamiento:
B
=e
A
C
=e
B
C
B
1
2 πζ
−
1−ζ 2
tr
T
0.5
A
0
0
5
10
15
20
25
Time (sec)
1− ζ2
tr =
⋅ arctg −
ζ
1− ζ2
τ
e
ζ...
DE SISTEMAS DE 2do ORDEN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426
Profesor: Ing. CelsoMontalvo
1
Sistemas de Segundo Orden
Un Sistema de 2do Orden es aquél cuyo modelo matemático se
expresa con ecuaciones diferenciales de 2do Orden.
dX (t )
d 2 X (t )
k
+
+ X (t ) = f (t )
dt
dt 2
Su Función de Transferencia se expresa como:
1
Y ( s ) = 2 2
X ( s )
τ
ζτ
2
1
s
s
+
+
Operando:
Y (s)
1
1/τ 2
1
1
= 2 2
=
=
=
2
X ( s ) τ s + 2ζτs + 1 ( s + r1 )( s + r2 ) (τ 1s +1)(τ 2 s + 1) τ 1τ 2 s + (τ 1 + τ 2 ) s + 1
donde:
r1, 2
ζ 2 −1
ζ
=− ±
τ
τ
τ = τ 1τ 2
ζ=
τ1 + τ 2
2τ
τ es la constante de tiempo de 2do orden
ζ es el factor de amortiguación
Amboscaracterizan un Sistema de 2do Orden.
CELSO MONTALVO
2
Sistemas de Segundo Orden
ζ<1
ζ>1
ζ=1
Cuando ζ < 1 el sistema es subamortiguado y oscilatorio.
Cuando ζ = 1 el sistema es críticamenteamortiguado, equivalente
a dos sistemas de 1er orden iguales en serie.
Cuando ζ > 1 el sistema es sobreamortiguado y no oscilatorio.
CELSO MONTALVO
3
Sistemas de Segundo Orden
Step Response
1
1erOrden con 0.9
τ=1
Amplitude
0.8
System: untitled2
Time (sec):
0.7 1
Amplitude: 0.632
1er Orden con τ = 2.15
0.6
System: S1
Time (sec): 2.15
Amplitude: 0.632
0.5
2do Orden con τ =
2.23 y ζ =1.34
0.4
0.3
2do Orden con τ = ζ = 1
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
Comparación de la Respuesta Transitoria de Procesos de 1er y
2do Orden.
CELSO MONTALVO
4
Sistemas deSegundo Orden
La curva del sistema de 2da orden está normalizada:
Step Response
1.5
Disparo (overshoot):
(Máxima Desviación)
Velocidad de Amortiguación:
(Razón de Asentamiento)
Tiempode Levantamiento:
Tiempo de Asentamiento:
B
=e
A
C
=e
B
C
B
1
2 πζ
−
1−ζ 2
tr
T
0.5
A
0
0
5
10
15
20
25
Time (sec)
1− ζ2
tr =
⋅ arctg −
ζ
1− ζ2
τ
e
ζ...
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