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02) Pérez, Á. (2010). Relaciones. En Lógica, conjuntos, relaciones y funciones. (pp.
47-55). San Luis Potosí, México: Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática
Mexicana.

L´ogica, conjuntos,
relaciones y funciones

´
Alvaro
P´
erez Raposo
Universidad Aut´onoma de San Luis Potos´ı
Universidad Polit´ecnica de Madrid

Publicaciones Electr´onicas
Sociedad Matem´atica Mexicana

Material compiladocon fines académicos, se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización de cada autor.

Cap´ıtulo 3

Relaciones
En la teor´ıa desarrollada hasta este punto la u
´nica referencia que se ha
hecho a los elementos de un conjunto es la pertenencia a dicho conjunto. No hay
ninguna conexi´
on entre los elementos de un conjunto (aparte de la de pertenecer
al mismo) y, mucho menos, entreelementos de diferentes conjuntos. El papel de
las relaciones y las funciones es, precisamente, establecer dichas conexiones.
Las relaciones son la forma m´
as b´asica (y por ello de m´as alcance) de imponer
una estructura en un conjunto. En este cap´ıtulo estudiamos la definici´on general
de relaci´
on y enseguida nos concentramos en los dos tipos m´as importantes: las
relaciones de equivalencia ylas relaciones de orden.
Las equivalencias son las que permiten clasificar los elementos de un conjunto. El objetivo del estudio de las equivalencia es ver el resultado de que toda
equivalencia da lugar a una clasificaci´on de los elementos del conjunto y viceversa, toda clasificaci´
on (o partici´on) de un conjunto procede de una relaci´on
de equivalencia.
Los ´
ordenes son los que ordenan loselementos de un conjunto. El objetivo
del estudio de los ´
ordenes es conocer diferentes tipos de ´ordenes que existen y,
en particular, entender la estructura de orden de los naturales, de los enteros,
de los racionales y de los reales. Para ello enunciaremos las propiedades que
distinguen cada uno de estos ´
ordenes de todos los dem´as.

3.1.

Relaciones

Partamos de un ejemplo considerando elconjunto de habitantes de una ciudad. En ´el podemos relacionar entre s´ı a los habitantes que viven en el mismo barrio, con lo cual cada habitante estar´a conectado con algunos otros –sus
vecinos– y no lo estar´
a con algunos m´as. Podemos pensar en otro ejemplo en la
misma ciudad si relacionamos a cada habitante con sus hijos, si los tiene y viven
en la misma ciudad. Definimos relaci´on como unobjeto matem´atico para describir conexiones entre los elementos de un conjunto. En particular estudiamos
dos tipos de especial importancia: las relaciones de equivalencia y las relaciones
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CAP´ITULO 3. RELACIONES

´
de orden. Estas
son, respectivamente, la forma matem´atica de establecer clasificaciones, como ocurre en el caso de los barrios de la ciudad, y de ordenar
objetos, que es lo queocurre entre padres e hijos.
Se trata, por tanto, de decir qu´e elementos est´an relacionados con cu´ales, y
una forma es escribiendo parejas ordenadas (a, b) que signifiquen que el elemento
a est´
a relacionado con el b. Por los ejemplos anteriores vemos que el orden es
importante (no es igual que a sea padre de b o que b lo sea de a). Por todo ello,
damos la siguiente definici´on.
3.1 Definici´on. Una relaci´
on R en un conjunto A es un subconjunto no vac´ıo
del producto cartesiano A × A.
Para denotar que un elemento a est´a relacionado con otro b por la relaci´on
R escribimos (a, b) ∈ R o tambi´en aRb (y su negaci´on aRb).
3.2 Ejemplo. En el conjunto A = {1, 2, 3}, R1 = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} es una
relaci´
on que podr´ıamos llamar la relaci´on del orden habitual, ya que indica que
elprimer elemento del par precede al segundo seg´
un el orden habitual de los
n´
umeros. Otra relaci´
on es R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}, que podr´ıamos
llamar la relaci´
on de paridad, pues los elementos de cada pareja son ambos pares
o ambos impares.
En la definici´
on no se exige que todos los elementos del conjunto est´en relacionados con alg´
un otro, ni que todos reciban la...