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ABC Amber Text Converter Trial version, http://www.thebeatlesforever.com/processtext/

El siguiente material se encuentra en etapa de corrección y no deberá
ser considerado una versión final.
Alejandro D. Zylberberg
Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004

Variables aleatorias mixtas
Hasta ahora vimos que las variables aleatorias pueden ser discretas ocontinuas.
Hay un tercer tipo híbrido de variable aleatoria: la mixta.
Podemos pensar una variable aleatoria mixta como una continua pero que tiene
valores no nulos para uno o más puntos. Dichos puntos se denominan puntos
pesados.
Por ejemplo:


1 / 5 1 < x < 4 
 f X ( x) = 


 0 ∀ otro x 


x=3 
 P ( x) = 2 / 5
 X
 0 ∀ otro x 

La distribución es lo que se encuentra entre las llavesgrandes, es decir, el
agrupamiento de la semidistribución discreta y la semidistribución continua
También se lo puede escribir así:

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1 / 5 1 < x < 4

f X ( x ) = 2 / 5
x=3
 0 ∀ otro x


En esta notación, las ramas discretas se distinguen por ser las que contienen
igualdades (x=3) y las continuas por ser lasque tienen intervalos (1 usaremos esta notación porque estamos siguiendo la convención de usar la letra f
para referirnos a distribuciones continuas puras. Sin embargo muchos autores usan
la letra f tanto para las distribuciones continuas como también para las
distribuciones discretas y mixtas.

Función de distribución
Hallaremos la función de distribución de la variable mixta quedimos como ejemplo.
Recordemos que el proceso de construir la función de distribución acumulada
puede pensarse como que se recorre el dominio de la variable desde menos infinito
hacia la derecha y se van recolectando probabilidades o masas de probabilidades.
Hasta el 1 no hay nada acumulado, por lo tanto para - ∞ < x < 1 la F(x) vale cero
A partir del 1 se comienza a acumular la densidad 1/5, y sesigue hasta el 3.
Entonces la expresión de la F(x) entre el 1 y el 3 es de la forma x/5 + C, donde C
debe ser tal que la función resulte continua en el 1 porque en todo punto que no sea
pesado la F debe ser continua, como ocurre como las variables continuas, que
como no tienen puntos pesados, la F siempre es continua.
Entonces para x = 1, x/5+C debe valer cero. Luego C = -1/5.
Entonces para 1 < x <3, F(x) = x/5 - 1/5 = (x-1)/5
En x = 3 la F(x) tiene un salto, porque se está acumulando la probabilidad no nula
del punto pesado. La rama que llega hasta el 3, en el 3 vale (3-1)/5 = 2/5. Le
sumamos la probabilidad del punto pesado, 2/5, y entonces la siguiente rama
empezará en la altura 4/5. Como la densidad que vamos a acumular a partir del 3 es
la misma que antes, la expresión de la F serátambién x/5+C, pero ahora C tendrá
otro valor porque está "levantada" con respecto a la rama anterior por el salto que
hubo. Dijimos que en x=3 debe valer 4/5. Entonces 3/5 + C = 4/5. Luego C = 1/5.
Entonces para 3 < x < 4, F(x) = x/5 + 1/5 = (x+1)/5
A partir del 4, la F vale 1
La F X(x) queda:

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 0
x <1
x −1
1  5
=
FX ( x)  x + 1

3< x < 4
 5
 1
x>4

Vemos que la función de distribución de una variable mixta se asemeja a la de una
variable continua, pero en vez de ser continua como la de ésta, es continua a trozos.
Los puntos de discontinuidad son los puntos pesados de la variable.
Además en dichos puntos no existe el límite desde la izquierda, pero sí desde la
derecha. Esto se debe a quela definición de la F es con un menor o igual ( ≤).

Esperanza y varianza
Para calcular la esperanza de una variable mixta se aplica la definición de esperanza
para variables discretas para las ramas discretas, y la para continuas para las ramas
continuas, y luego se suman los dos resultados.
Para la distribución del ejemplo:
+∞

∑ x P (x)
X

−∞

involucra una sola rama (x=3). Luego la parte...

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