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2

Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 1

PÁGINA 42

20 cm

r

r

20 cm

l

l

Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para
hacerlo necesita saber su volumen (¿cuánta cera gastará?) y su superficie total (¿cuánto le costará pintarlas?).

1

Escribe la expresión del volumen de los cuatroobjetos en función de r o de l.
Averigua su valor para r = 6 cm y para l = 10 cm.
VCILINDRO = π · r 2 · 20 = π · 36 · 20 = 720π cm3
VESFERA = 4 πr 3 = 4 π · 63 = 288π cm3
3
3
VCUBO = l 3 = 103 = 1 000 cm3
VPARALELEPÍPEDO = 20l 2 = 20 · 102 = 2 000 cm3

Unidad 2. Polinomios y fracciones algebraicas

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 2

2 Escribe la expresión de la superficie totalde estos cuatro objetos en función
de r o de l. Averigua su valor para r = 6 cm y para l = 10 cm.
ACILINDRO = 2πr 2 + 2πr · 20 = 2πr 2 + 40πr = 72π + 240π = 312π cm2
AESFERA = 4πr 2 = 4π · 36 = 144π cm2
ACUBO = 6l 2 = 6 · 102 = 600 cm2
APARALELEPÍPEDO = 2l 2 + 4l · 20 = 2l 2 + 80l = 200 + 800 = 1 000 cm2

PÁGINA 43
ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1

Opera y simplifica.
(5x 2 – 4x + 2) · [(2x 3 – 3x+ 2) – (2x + 1)(x 2 – 2x)]
(5x 2 – 4x + 2) · [(2x 3 – 3x + 2) – (2x + 1)(x 2 – 2x)] =
= (5x 2 – 4x + 2) [(2x 3 – 3x + 2) – (2x 3 – 4x 2 + x 2 – 2x)] =
= (5x 2 – 4x + 2) [3x 2 – x + 2] =
= 15x 4 – 5x 3 + 10x 2 – 12x 3 + 4x 2 – 8x + 6x 2 – 2x + 4 =
= 15x 4 – 17x 3 + 20x 2 – 10x + 4

2 Extrae factor común en

35x 5 – 42x 4 + 14x 3.

35x 5 – 42x 4 + 14x 3 = 7x 3 (5x 2 – 6x + 2)

3 Desarrolla lassiguientes expresiones:
a) (7x 2 – 3)2
b) (2x + 3x 2)2
c) (√3 x – √2 )(√3 x + √2 )
d) (√5 x 2 + 2x)(√5 x 2 – 2x)
a) (7x 2 – 3)2 = 49x 4 – 42x 2 + 9
b) (2x + 3x 2)2 = 4x 2 + 12x 3 + 9x 4
c) (√3 x – √2 )(√3 x + √2 ) = 3x 2 – 2
d) (√5 x 2 + 2x)(√5 x 2 – 2x) = 5x 4 – 4x 2

Unidad 2. Polinomios y fracciones algebraicas

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 3

4 Expresa en forma deproducto:
a) 36x 4 + 60x 3 + 25x 2

b) 36x 4 – 60x 3 + 25x 2

c) 144x 4 – x 2

d) 3x 4 – 4x 2 (recuerda que 3 = (√3 ) )

e) 3x 4 – √24 x 3 + 2x 2

f ) 3x 2 – 5

a) (6x 2 + 5x)2

b) (6x 2 – 5x)2

c) (12x 2 + x)(12x 2 – x)

d) (√3 x 2 + 2x)(√3 x 2 – 2x)

e) (√3 x 2 – √2 x)2

f ) (√3 x + √5 )(√3 x – √5 )

2

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1

Efectúa las siguientes divisiones y expresa el resultado así:
P (x) = Q(x) · C (x) +R(x)
Indica en qué casos la división es exacta y, por tanto, el dividendo se ha
factorizado:
a) (x 5 – 7x 4 + x 3 – 8) : (x 2 – 3x + 1)
b)(4x 5 + 20x 4 – 18x 3 – 28x 2 + 28x – 6) : (x 2 + 5x – 3)
c) (6x 4 + 3x 3 – 2x) : (3x 2 + 2)
d)(45x 5 + 120x 3 + 80x) : (3x 2 + 4)
a) x 5 – 7x 4 + x 3
– 8
5
4
3
– x + 3x – x
– 4x 4
4x 4 – 12x 3 + 4x 2
–12x 3 + 4x 2
12x 3 – 36x 2 + 12x
–32x 2 + 12x
+32x 2 – 96x +32
–84x + 24

x 2 – 3x + 1
x 3 – 4x 2 – 12x – 32

x 5 – 7x 4 + x 3 = (x 2 – 3x + 1)(x 3 – 4x 2 – 12x – 32) – 84x + 24
b)

4x 5 + 20x 4 – 18x 3 – 28x 2 + 28x – 6
– 4x 5 – 20x 4 + 12x 3
–6x 3
6x 3 + 30x 2 – 18x
2x 2 + 10x
–2x 2 – 10x + 6
0

x 2 + 5x – 3
4x 3 – 6x + 2

La división es exacta.
4x 5 + 20x 4 – 18x 3 – 28x 2 + 28x – 6 = (x 2 + 5x – 3)(4x 3 – 6x + 2)

Unidad 2. Polinomios y fraccionesalgebraicas

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Pág. 4

6x 4

c)

–6x 4

+

3x 3

3x 2

– 2x
4x 2

–
3x 3 – 4x 2
–3x 3
– 2x
2
– 4x – 4x
4x 2
+ 8/3
– 4x + 8/3

2x 2

+2
+ x – 4/3

6x 4 + 3x 2 – 2x = (3x 2 + 2)(2x 2 + x – 4/3) – 4x + 8/3
45x 5 + 120x 3 + 80x
– 45x 5 – 60x 3
60x 3
–60x 3 – 80x
0

d)

3x 2 + 4
15x 3 + 20x

La división es exacta.
45x 5 + 120x 3 + 80x = (3x 2 + 4)(15x 3 +20x)

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2

Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones:
a) (5x 4 + 6x 2 – 11x + 13) : (x – 2)
b)(6x 5 – 3x 4 + 2x) : (x + 1)
c) (3x 4 – 5x 3 + 7x 2 – 2x + 13) : (x – 4)
d)(6x 4 + 4x 3 – 51x 2 – 3x – 9) : (x + 3)
a)

5
2

b)

6 –11 13
20 52 82
26 41 |95

6 –3
–1
–6
6 –9

0
9
9

3 –5
12
3 7

7
28
35

c)
4

d)

0
10
5 10

0
–9
–9

2
0
9 –11
11 |–11

–2
13
140 552
138...