02Trigonometria

Matemática Diseño Industrial

Trigonometría

Ing. Avila – Ing. Moll

TRIGONOMETRÍA
Es la rama de la matemática que tiene por objeto el estudio de las relaciones
numéricas que existen entre los elementos rectilíneos y angulares de un triángulo
o de una figura geométrica en general y su aplicación a la solución numérica de los
problemas que puedan presentarse.
Para calcular la longitud de lasbarras de este cuerpo de
tribuna, la longitud de las barras
del cuadro de la bicicleta, la
longitud de las barras que
conforman el tren de aterrizaje
del avión o la altura que
alcanzará la escalera según el
ángulo de apertura necesitamos
conocer los ángulos y los lados
de los triángulos que se forman.

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TRIÁNGULO:
Definimos untriángulo como una figura geométrica
formada por una poligonal cerrada, delimitada por
tres lados.

Elementos de un triángulo:

A

- Lados: a, b , c
α
-

Ángulos: α, β, γ

-

Vértices: A, B, C

b

c

γ

C

β

a

B

Propiedad: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º”,
Es decir que α + β + γ = 180º

Clasificación de los triángulos:
Clasificación por sus lados:

equiláteroisósceles

Equilátero: tiene todos sus lados iguales
Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual
Escaleno: tiene todos sus lados desiguales

2

escaleno

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Clasificación por sus ángulos:
acutángulos
- oblicuángulos
obtusángulos
- rectángulos

oblicuángulo

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

Líneas y puntos notables de un triángulo:Bisectrices de un triángulo:

A

A
b

C

o
a

acutángulo

c

c

b

o

C

B

a
rectángulo

A
c
b

o

C

a

obtusángulo

3

B

B

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Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior que equidista de sus
lados. El punto “O” se denomina incentro.

Mediatrices de un triángulo:

A
M2

A
M3

o

C

M2

B

M1

A

Cacutángulo

o

M3

o

M3

M2

M1

B

C

rectángulo

M1

B

obtusángulo

Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus
vértices. El punto “O” se denomina circuncentro.

Alturas de un triángulo:

A

A
b

C

c

c

o
a

acutángulo

A

B

b o
Ca

c

B
rectángulo

a C
o

B
b
obtusángulo

Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan en un punto. El
punto “O” sedenomina centro ortogonal u ortocentro.

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Medianas de un triángulo:

A

A
b

C

o

c

b

B

a

A
o

C

acutángulo

c

a

b

o

B

c

C

rectángulo

a

B

obtusángulo

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior cuya distancia a cada
vértice es igual a 2/3 de la mediana correspondiente.
El punto “O” se denominabaricentro (centro de gravedad).

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
TEOREMA DE PITÁGORAS: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2
de donde:

25
a = b2 + c2

9

a

c
b

b = a2 − c2

+

c = a 2 − b2

5

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Si consideramos un ángulo α orientado (puedeser positivo o negativo) respecto
de un sistema de ejes de coordenadas rectangulares, de manera que el vértice
coincida con el origen y su lado inicial con el semieje positivo de las x, se dice
que es un ángulo del primer cuadrante si su lado terminal cae en dicho
cuadrante. Definiciones semejantes se aplican a otros cuadrantes.
Utilizaremos tres funciones trigonométricas de α, definidas en base ala abscisa,
la ordenada y la distancia ρ (radio vector) y en base a los lados de un triángulo
rectángulo como sigue:
yy
y

ρ=r=1

P
y
(ordenada)

α

O

* seno α = senα =

x M
(abscisa)

xx

hipotenusa

ρ

P cateto
opuesto

α
O

M

x

cateto
adyacente

ordenada
y cateto.opuesto
= =
radio.vector ρ
hipotenusa

* coseno α = cos α =

abscisa
x cateto.adyacente
= =
radio.vector ρ
hipotenusa

*...