03 AplicacionesDerivada 1

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Por:

Ing. Mario René De León García.

1.

COMPORTAMIENTO DE LOS VALORES DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función en un punto o en un intervalo, está directamente relacionada con los valores que toma la primera
derivada en ese punto o en el intervalo. Dentro de las propiedades relacionadas están los conceptos de función creciente y función
decreciente, que acontinuación se definen:

FUNCIÓN CRECIENTE:
Una función es creciente en un intervalo abierto
sí cuando los valores de
crecen, los valores
de la función
también lo hacen; es decir, si
de tal manera que
, se dice que la función es creciente si
.
Para interpretar mejor esto, si se hace un recorrido visual sobre la grafica de una función de izquierda a derecha, se observa que la
curva asciende, la función escreciente.

FUNCIÓN DECRECIENTE:
Una función es decreciente en un intervalo abierto
sí cuando los valores de
crecen, los valores
de la función
decrecen; es decir, si
de tal manera que
, se dice que la función es decreciente si
. Para
interpretar mejor esto, si se hace un recorrido visual sobre la grafica de una función de izquierda a derecha, se observa que la
curva desciende, la función esdecreciente.

2.

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO POR PRIMERA DERIVADA

Cuando una función es creciente en un intervalo, entonces toda recta tangente a la curva en ese intervalo tiene pendiente
positiva; por el contrario, si la función es decreciente la pendiente de toda recta tangente en el intervalo es negativa. Esto se
resume a continuación:

ANÁLISIS POR PRIMERA DERIVADA
Sea
una función que es continuaen el intervalo cerrado
entonces debe cumplirse que:
1.
2.
3.

Si
Si
Si

entonces
entonces
entonces

es creciente en
es decreciente en
es constante en

y derivable en el intervalo abierto

,

2

Aplicaciones de la derivada
3.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Los puntos
donde la grafica de la función cambia de comportamiento creciente a decreciente o viceversa, se les
denominavértices de la función. De aquí la importancia de localizar los valores
, a los cuales se les llama números o valores
críticos.

NÚMEROS CRÍTICOS DE LA PRIMERA DERIVADA
Si una función
es continua en
ese punto), se dice entonces que

, de tal forma que
es igual a cero o no existe (no es derivable en
es un número crítico de la primera derivada de la función.

Estos puntos tienen la característica quecuando se presentan en intervalo donde la función es continua y diferenciable, la
pendiente de la recta tangente en este punto es cero, es decir la recta tangente es horizontal y la primera derivada de la fu nción en
ese punto es cero
; o bien la función es continua pero no diferenciable. Esto se muestra en las siguientes graficas:

y

y

x

Valor crítico en un punto donde la recta tangente a lacurva
es horizontal, es decir que su pendiente es cero.

x

Valor crítico en un punto donde la función es no derivable.

En esta situación, los valores
en los vértices suelen ser extremos relativos o absolutos de la función. Sin embargo,
no todos los puntos donde la primera derivada es cero se presenta un extremo absoluto o relativo. Esto se resume en el siguiente
teorema:

CRITERIO DE LA PRIMERADERIVADA
Sea
una función que es continua en un intervalo abierto
que contenga al menos un valor
de tal
forma que
o bien
no exista. Sí
es diferenciable en el intervalo, excepto posiblemente en
, entonces puede suceder lo siguiente:
1.

Sí

cambia de negativa a positiva en

, entonces

2.

Sí

cambia de positiva a negativa en

, entonces

3.

Sí

no cambia de signo

, entonces

es un mínimo relativo.es un máximo relativo.

no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo.

Preparado por: Ing. Mario René De León García

3

Aplicaciones de la derivada
Esto se ilustra en las siguientes graficas:

La primera derivada cambia de negativa a
positiva, es decir, cambia de comportamiento
decreciente a creciente en
. Esto implica
que
es un mínimo relativo.

La primera derivada cambia de positiva a...