03_fourier

Análisis de Fourier

Análisis de Fourier
F. Javier Cara
ETSII-UPM

Curso 2012-2013

1

Análisis de Fourier

Contenido
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
Espectro
Señales continuas no periódicas. Serie de Fourier.
Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.
Catalogo de transformadas de FourierDelta de Dirac
Convolución y su transformada de Fourier
Correlación y su transformada de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta.
Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.
Muestreo de señales
Transformada de Fourier discreta (DFT)
2

Análisis de Fourier
Señalescontinuas

Análisis de Fourier
◮

Señales continuas.
◮

Señales continuas periódicas.
◮
◮

◮

Señales continuas no periódicas.
◮
◮

◮

Serie de Fourier.
Serie de Fourier compleja.
Serie de Fourier.
Transformada de Fourier.

Señales discretas.
◮

Señales discretas periódicas.

◮

Señales discretas no periódicas.

◮

◮
◮
◮

Serie de Fourier discreta.
Serie de Fourier discreta.
Transformada de Fourieren tiempo discreto (DTFT).
Transformada de Fourier discreta (DFT).

3

Análisis de Fourier
Señales continuas

Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768, Auxerre
- 16 de mayo de 1830, París)

4

Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.

A= 15, f = 2 Hz, T = 0.5 s
20

10

10

y=Acos(ωt)

y=Asin(ωt)

A= 15, f = 2 Hz, T = 0.5 s
20

0
−10
−20

00.5

1

1.5

0
−10
−20

2

0

20

10

10

0
−10
−20

0

0.5

1

1.5

−20

2

10

◮
◮
◮
◮
◮

y=Acos(ωt)

y=Asin(ωt)

20

0
−10
1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

A= 5, f = 4 Hz, T = 0.25 s

10

0.5

1.5

0

20

0

1

−10

A= 5, f = 4 Hz, T = 0.25 s

−20

0.5

A= 5, f = 2 Hz, T = 0.5 s

20
y=Acos(ωt)

y=Asin(ωt)

A= 5, f = 2 Hz, T = 0.5 s

2

0
−10
−20

0

0.5

1

1.5

2

Ondas: y = Asin(ωt), y = Acos(ωt)A: amplitud de la onda.
ω = 2π
T = 2πf : frecuencia angular, [rad/s].
T : periodo = tiempo entre dos repeticiones, [s].
f = T1 : frecuencia lineal = num. de repeticiones por segundo, [Hz].

5

Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.

0

0.5
1
1.5
xtotal = x1 + x2 + x3 + x4

0.5

1

1.5

y1=b1sin(ω1t)

0

0.5
1
1.5
a4= 6, f4 = 8 Hz, T4= 0.125 s.

20
0−20

2

y2=b2sin(ω2t)

20
0
−20

0

0.5
1
1.5
a3= 4, f3 = 6 Hz, T3= 0.16667 s.

2

20
0
−20

2

y3=b3sin(ω3t)

x4=a4cos(ω4t)

20
0
−20

0

0.5
1
1.5
a2= 8, f2 = 4 Hz, T2= 0.25 s.

20
0
−20

2

y4=b4sin(ω4t)

x3=a3cos(ω3t)

20
0
−20

0

b1= 10, f1 = 2 Hz, T1= 0.5 s.
20
0
−20

ytotal

x1=a1cos(ω1t)
x2=a2cos(ω2t)

20
0
−20

xtotal

a1= 10, f1 = 2 Hz, T1= 0.5 s.
20
0
−20

20
0
−20

2

0

0.5
1
1.5
b2=8, f2 = 4 Hz, T2= 0.25 s.

2

0

0.5
1
1.5
b3= 4, f3 = 6 Hz, T3= 0.16667 s.

2

0

0.5
1
1.5
b4= 6, f4 = 8 Hz, T4= 0.125 s.

2

0

0.5
1
1.5
ytotal = y1 + y2 + y3 + y4

2

0

0.5

2

1

1.5

6

Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.

K
◮

Al sumar ondas coseno, x(t) =

ak cos(ωk t):
k=1

◮
◮

Si ωk = n · ω1 , n ∈ N ⇒ x(t) es una onda periódica:
Elperiodo de x(t) es T1 .
K

◮

ak .

x(0) = x(T ) =
k=1

K
◮

Al sumar ondas seno, y (t) =

bk sin(ωk t):
k=1

◮
◮
◮

Si ωk = n · ω1 , n ∈ N ⇒ y (t) es una onda periódica:
El periodo de y (t) es T1 .
y (0) = y (T ) = 0.
K

◮

(ak cos(ωk t) + bk sin(ωk t)) es periódica:

En conclusión, f (t) =
k=1
◮
◮

Si ωk = n · ω1 , n ∈ N ⇒ f (t) es una onda periódica:
El periodo de f (t) es T1 .
K

◮

ak .

f (0) =f (T ) =
k=1

7

Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.

El recíproco de la propiedad anterior también es cierto:

Teorema
Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en una
suma de senos y cosenos:
∞

f (t) =

an cos
n=1

◮

◮

2πn
2πn
t + bn sin
t
T
T

Una función f (t) es periódica de periodo T si cumple que
f (t) = f (t + T...