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ÀLGEBRA

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REFLEXIONA I RESOL
Grapat d’ametles
Tres amics, Antoni, Joan i Pau, anaren amb els tres fills, Juli, Josep i Lluís, a un magatzem de fruits secs.
Davant un sac d’ametles, l’amo els digué:
— Agafeu les que vulgueu.
Cadascun dels sis personatges ficà la mà en el sac un nombre n de vegades, i cada vegada, se n’endugué n ametles (és a dir, si un ficà la mà en el sac 9 vegades,cada vegada agafà nou ametles i, per tant, se n’endugué 81 ametles). A més, cada pare agafà, en total, 45 ametles més que el fill.
Antoni introduí la mà 7 vegades més que Lluís, i Juli, 15 més que Pau.
• Com es diu el fill d’Antoni?
• I el de Joan?
• Quantes ametles se n’endugueren entre tots?
• 2.° caso: 15 Ò 3
(x + y) (x – y) = 45
x + y = 15 ° Sumando: 2x = 18 8 x = 9
x – y = 3 ¢£ Restando: 2y =12 8 y = 6
Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almendras) y
su hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras).
• 3.er caso: 45 Ò 1
(x + y) (x – y) = 45
x + y = 45 ° Sumando: 2x = 46 8 x = 23
x – y = 1 ¢£ Restando: 2y = 44 8 y = 22
Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo, 22
puñados de 22 almendras (484 almendras).
ComoAntonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2
puñados.
Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo, 7
puñados.
Unitat 3. Àlgebra

1

Por tanto:
• Antonio se lleva 9 puñados y José 6.
• Juan coge 23 puñados y Julio 22.
• Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2.
• El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.
Porúltimo, el número total de almendras que se llevaron entre todos será:
81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1 183 almendras

Sense necessitat de l’àlgebra
Un llebrer perseguix una llebre.
La llebre duu 30 bots (dels seus) d’avantatge al llebrer. Mentre el llebrer fa dos
bots, la llebre en fa tres. Tres bots del llebres equivalen a cinc de la llebre.
Quants bots farà cadascun fins al moment de la captura?Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo.
Cada 2 · 2 saltos de galgo y 3 · 2 de liebre se acerca 2 u el galgo.
Cada 2 · 3 saltos de galgo y 3 · 3 de liebre se acerca 3 u el galgo.
……
Cada 2 · 90 saltos de galgo y 3 · 90 de liebre se acerca 90 u el galgo.
Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), serán:
2 · 90 = 180 saltos el galgo
3 · 90 = 270 saltos laliebre
De esta forma el galgo recorre 180 · 5 u = 900 u; y la liebre 270 · 3 u = 810 u.
Como tenía 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u
Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.

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1. Efectua la divisió:
P (x) = x 5 – 6x 3 – 25x
entre
Q (x) = x 2 + 3x

2

Unitat 3. Àlgebra

UNITAT

x5

– 6x3

3

x 2 + 3x

– 25x

–x 5 – 3x 4

x 3 – 3x 2 + 3x – 9

–3x 4
3x 4+ 9x 3

Cociente: x 3 – 3x 2 + 3x – 9

3x 3

Resto: 2x

–3x 3 – 9x 2
–9x 2
9x 2 + 27x
2x
2. Calcula el quocient i el residu:
(6x 5 + 9x 4 – 7x 3 + 7x 2 – 8x + 5) : (3x 2 – 3x – 1)
6x 5 + 9x 4 – 7x 3 + 7x 2 –

8x +

5

–6x 5 + 6x 4 + 2x 3

3x 2 – 3x – 1
2x 3 + 5x 2 +

15x 4 – 5x 3

10
22
x+
3
3

–15x 4 + 15x 3 + 5x 2
10x 3 + 12x 2
–10x 3 + 10x 2 +

10
x
3

22x 2 –

14
x
3

–22x 2 + 22x +

22
3

5237
x+
3
3
3. Copia i completa:
■ x4 + ■ x3 + ■ x2 – 3x + ■

x3 – 2x2 + ■ x + ■

■ x4 + ■ x3 – 2x2 + 6x

2x + ■

3x3

–

x2 + ■ x + ■

■ x3 + ■ x2 + ■ x + ■
■ x2 + ■ x + 2
2x 4 – x 3 + x 2 – 3x – 7
–2x 4 + 4x 3 – 2x 2 + 6x
3x 3
–3x 3

Unitat 3. Àlgebra

x 3 – 2x 2 + x – 3
2x + 3

–

x2

+ 3x – 7

+

6x 2

– 3x + 9

5x 2

+2

3

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4. En una divisió de polinomis, el dividend és de grau cinci el divisor, de grau
dos.
Quin és el grau del quocient? Què en pots dir, del grau del residu?
El cociente es de grado tres. El resto es de grado inferior a dos.
5. a) Quin valor han de tindre a i b per tal que la divisió següent siga exacta?
(x 4 – 5x 3 + 3x 2 + ax + b) : (x 2 – 5x + 1)
b) Quin valor han de tindre a i b per tal que el residu de la divisió siga 3x – 7?
a) x 4 – 5x 3 + 3x 2

+...