03 TEOREMA PI

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA HIDRAULICA

MODELOS
TEMA:

HIDRÁULICOS I

TEOREMA DE PI VASCHY
BUCKINGHAM

DOCENTE: Ing. Luis Vásquez Ramírez.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES
MAGNITUD

DIMENSIÓN

UNIDAD (SI)

MASA

M

Kg

LONGITUD

L

m

TIEMPO

T

s

MAGNITUDES DERIVADAS
MAGNITUD

DIMENSIÓN

UNIDAD (SI)

VELOCIDAD

LT-1

m/sPRESIÓN

ML-1 T-2

N/m2

VISCOSIDAD

ML-1T-1

Kg/(ms)

TEOREMA PI – VASCHY BUCKINGHAM
• El teorema π (pi) de Vaschy Buckingham es el
teorema fundamental del análisis dimensional. El
teorema establece que dada una relación física
expresable mediante una ecuación en la que están
involucradas n magnitudes físicas o variables, y si
dichas variables se expresan en términos de k
cantidades
físicasdimensionalmente
independientes, entonces la ecuación original
puede escribirse equivalentemente como una
ecuación con una serie de n - k números
adimensionales construidos con las variables
originales.
 

TEOREMA PI – VASCHY BUCKINGHAM

• Este teorema proporciona un método de
construcción
de
parámetros
adimensionales, incluso cuando la forma de
la ecuación es desconocida. De todas
formas
la
elección
deparámetros
adimensionales no es única y el teorema no
elige cuáles tienen significado físico.

TEOREMA PI – VASCHY BUCKINGHAM
• El Teorema de Pi establece que:
 

I = N-K
•

I = Número de parámetros adimensionales
independientes
• N = Número de variables implicadas en el
problema
• K = Número de dimensiones fundamentales.

TEOREMA PI – VASCHY BUCKINGHAM
• Según el Teorema de Π (pi) deVaschyBuckingham si tenemos una ecuación física
que refleja la relación existente entre las
variables que intervienen en un cierto
problema debe existir una función f tal que:
F(A1,A2,…,An)=0

 
• Donde Ai,  son las n  variables o magnitudes
físicas relevantes, y se expresan en términos
de k  unidades físicas independientes. Entonces
la anterior ecuación se puede reescribir como:
F(π1, π2,…, πn)=0
 

TEOREMAPI – VASCHY BUCKINGHAM
• Donde πi son los parámetros adimensionales
construidos
de
• n- k  ecuaciones de la forma:
m1 m2 mn
πi =(A1, A2,…..,An
)

Donde los
números enteros.

exponentes

m i 

son

¿CÓMO AGRUPAR LAS VARIABLES DE PROCESO
EN GRUPOS ADIMENSIONALES?

ELABORAR UN LISTADO CON VARIABLES SIGNIFICATIVAS IMPLICADAS EN EL PROBLEMA

CALCULAR LA EXPRESIÓN DIMENSIONAL EQUIVALENTE DE CADA UNADE LAS VARIABLES
OBTENIDAS ANTERIORMENTE

DETERMINAR LAS DIMENSIONES FUNDAMENTALES USADAS EN LAS VARIABLES DEL
PROBLEMA

DETERMINAR EL NÚMERO DE PARÁMETROS ADIMENSIONALES INDEPENDIENTES EN LOS QUE SE
PUEDEN AGRUPAR LAS VARIABLES DEL PROBLEMA MEDIANTE EL TEOREMA DE π.

GENERAR LOS PARÁMETROS ADIMENSIONALES.

COMPROBAR QUE CADA PARÁMETRO ADIMENSIONAL OBTENIDO NO TIENE
DIMENSIONES.

EJEMPLO DEAPLICACIÓN

Determinar los grupos adimensionales formados con las variables involucradas en
el flujo de un fluido sobre un cuerpo sólido de forma esférica.

Corriente
Fluida

D

SOLUCIÓN
1. Hacemos listado de variables significativas implicadas en el objeto
de estudio:
Densidad:
Viscosidad:
Velocidad del fluido: V
Diámetro del cuerpo esférico: D

F=f(  , , V ,D)

Fuerza de Arrastre: F
N=5

2.Calculamos la expresión dimensional equivalente de cada una de
las
variables obtenidas anteriormente:
VARIABLES
FUERZA

DIMENSIONES
MLT-2

DIÁMETRO

L

DENSIDAD

ML-3

VISCOSIDAD

ML-1T-1

VELOCIDAD

LT-1

3.

Determinamos las dimensiones fundamentales usadas en las
variables del problema:

DIMENSIÓN

SÍMBOLO

LONGITUD

L

MASA

M

TIEMPO

T

K=3

4. Determinamos el número de parámetrosadimensionales
independientes en los que se pueden agrupar las variables del
problema mediante el teorema de π:

I=N-K=5-3=2

π 1 = f ( π2 )

5. Generamos los parámetros adimensionales:

π1= a Vb Dc F

π2=d Ve Df U -1

La condición de adimensionalidad para π 1 nos conduce a:

π1 = 

a

a

b

Vb Dc F

1

 M   L  c  ML 
0 0 0
L

M
LT
 3    2 
 L  T   T 

 ML   LT  L  MLT 
3 a

1...