03
Páginas: 7 (1550 palabras)
Publicado: 28 de octubre de 2015
Probabilidades y Variables
Aleatorias
MODELOS ESTOCÁSTICOS ICI-053
Espacios muestrales, eventos y
probabilidades
INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL - MODELOS ESTOCÁSTICOS - WILFREDO ROJAS LOWE
2
¿Qué es la Probabilidad?
•
En forma muy simple, entenderemos como probabilidad la cuantificación del grado de
incertidumbre (posibilidad) sobre la ocurrencia de un resultado de cierto experimento.
Unejemplo de ello es: “Al lanzar una moneda”, ¿puedo apostar a que sale cara y ganar?
•
Dicha cuantificación la expresaremos en cantidades numéricas mayores o iguales a cero
y menores o iguales a uno. También pueden ser expresadas como un porcentaje entre
0% y 100%.
•
Las probabilidades tienen tres posibles interpretaciones:
•
Clásica: Al realizar un experimento todos sus resultados tienen la mismaposibilidad de ocurrir
(concepto de equiprobabilidad)
•
Frecuentista: Si repetimos infinitas veces un experimento bajo las mismas condiciones
ambientales y tabulamos los resultados, la columna de proporciones corresponde a las
probabilidades.
•
Subjetiva: La probabilidad de un resultado es asignado según el grado de certeza de un
individuo. Dos sujetos distintos asignan probabilidadesdistintas.
INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL - MODELOS ESTOCÁSTICOS - WILFREDO ROJAS LOWE
3
Espacios muestrales y eventos
•
Un experimento es cualquier acción o
proceso que genera observaciones.
•
Un experimento aleatorio es aquel que
proporciona diferentes resultados aún
cuando se repita siempre de la misma
manera.
•
•
El espacio muestral de un experimento,
denotado por 𝑆, es el conjunto de todoslos posibles
resultados de ese
experimento.
Un evento es cualquier colección
(subconjunto) de resultados contenida en
el espacio muestral 𝑆 . Un evento es
simple si está formado por un resultado y
compuesto si consta de más de un
resultado.
INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL - MODELOS ESTOCÁSTICOS - WILFREDO ROJAS LOWE
Un experimento aleatorio que consiste en
lanzar un dado, el espacio muestral es elsiguiente:
𝑆 = 1,2,3,4,5,6
Algunos eventos posibles son:
•
𝐴 = Sacar un 1
•
𝐵 = Sacar un 6
•
𝐶 = Sacar un número par
Notamos que los eventos 𝐴 y 𝐵 son simples,
y el evento 𝐶 es compuesto.
4
Teoría de Conjuntos usada para los eventos
•
La unión de dos eventos 𝐴 y 𝐵 ,
denotada por 𝐴 ∪ 𝐵 y que se lee “𝐴 y/o
𝐵”, es el evento formado por todos los
resultados que están en 𝐴 o en 𝐵, o en
amboseventos (por lo que la unión
incluye los resultados ocurridos en los
eventos 𝐴 y 𝐵 y en un solo evento).
•
La intersección de dos eventos 𝐴 y 𝐵,
simbolizada por 𝐴 ∩ 𝐵 y que se lee “𝐴 y
𝐵”, es el evento formado por todos los
resultados que están en 𝐴 y en 𝐵.
•
El complemento de un evento 𝐴 ,
denotado por 𝐴′ o 𝐴𝐶 , es el conjunto de
todos los resultados en 𝑆 que no están
contenidos en 𝐴.INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL - MODELOS ESTOCÁSTICOS - WILFREDO ROJAS LOWE
•
Eventos Mutuamente Excluyentes:
Cuando una colección de 𝑘 eventos no
tienen resultados en común se dice que
son eventos mutuamente excluyentes o
disjuntos.
𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ . . . ∩ 𝐴𝑘 = ∅
•
Eventos Exhaustivos: Cuando una
colección de 𝑘 eventos tiene como
resultado todos los elementos del
espacio muestral se dice que son
eventosexhaustivos.
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ . . . ∪ 𝐴𝑘 = 𝑆
•
Leyes de Morgan:
𝐴∩𝐵
𝐴∪𝐵
𝐶
𝐶
= 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶
= 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶
5
Diagrama de Venn
INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL - MODELOS ESTOCÁSTICOS - WILFREDO ROJAS LOWE
6
Propiedades de Probabilidad
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
PROPIEDADES DE PROBABILIDAD
Dado un experimento aleatorio y un espacio
muestral 𝑆, el objetivo de la probabilidad es
asignar a cada evento A un número 𝑃(𝐴),que
recibe el nombre de probabilidad de que el
evento 𝐴 ocurra.
1.
𝑃 ∅ =0
2.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
3.
𝑃 𝐴𝐶 = 1 − 𝑃 𝐴
4.
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵
5.
𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶 −
𝑃 𝐴∩𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐶 −𝑃 𝐵∩𝐶 +
𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶
6.
Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⟹ 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵
7.
Si 𝐵 ⊂ 𝐴 ⟹ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐵
Para cualquier evento 𝐴, 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1.
𝑃 𝑆 =1
2.
3.
1.
Sean 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 , 𝑛 eventos
mutuamente excluyentes...
Aleatorias
MODELOS ESTOCÁSTICOS ICI-053
Espacios muestrales, eventos y
probabilidades
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2
¿Qué es la Probabilidad?
•
En forma muy simple, entenderemos como probabilidad la cuantificación del grado de
incertidumbre (posibilidad) sobre la ocurrencia de un resultado de cierto experimento.
Unejemplo de ello es: “Al lanzar una moneda”, ¿puedo apostar a que sale cara y ganar?
•
Dicha cuantificación la expresaremos en cantidades numéricas mayores o iguales a cero
y menores o iguales a uno. También pueden ser expresadas como un porcentaje entre
0% y 100%.
•
Las probabilidades tienen tres posibles interpretaciones:
•
Clásica: Al realizar un experimento todos sus resultados tienen la mismaposibilidad de ocurrir
(concepto de equiprobabilidad)
•
Frecuentista: Si repetimos infinitas veces un experimento bajo las mismas condiciones
ambientales y tabulamos los resultados, la columna de proporciones corresponde a las
probabilidades.
•
Subjetiva: La probabilidad de un resultado es asignado según el grado de certeza de un
individuo. Dos sujetos distintos asignan probabilidadesdistintas.
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3
Espacios muestrales y eventos
•
Un experimento es cualquier acción o
proceso que genera observaciones.
•
Un experimento aleatorio es aquel que
proporciona diferentes resultados aún
cuando se repita siempre de la misma
manera.
•
•
El espacio muestral de un experimento,
denotado por 𝑆, es el conjunto de todoslos posibles
resultados de ese
experimento.
Un evento es cualquier colección
(subconjunto) de resultados contenida en
el espacio muestral 𝑆 . Un evento es
simple si está formado por un resultado y
compuesto si consta de más de un
resultado.
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Un experimento aleatorio que consiste en
lanzar un dado, el espacio muestral es elsiguiente:
𝑆 = 1,2,3,4,5,6
Algunos eventos posibles son:
•
𝐴 = Sacar un 1
•
𝐵 = Sacar un 6
•
𝐶 = Sacar un número par
Notamos que los eventos 𝐴 y 𝐵 son simples,
y el evento 𝐶 es compuesto.
4
Teoría de Conjuntos usada para los eventos
•
La unión de dos eventos 𝐴 y 𝐵 ,
denotada por 𝐴 ∪ 𝐵 y que se lee “𝐴 y/o
𝐵”, es el evento formado por todos los
resultados que están en 𝐴 o en 𝐵, o en
amboseventos (por lo que la unión
incluye los resultados ocurridos en los
eventos 𝐴 y 𝐵 y en un solo evento).
•
La intersección de dos eventos 𝐴 y 𝐵,
simbolizada por 𝐴 ∩ 𝐵 y que se lee “𝐴 y
𝐵”, es el evento formado por todos los
resultados que están en 𝐴 y en 𝐵.
•
El complemento de un evento 𝐴 ,
denotado por 𝐴′ o 𝐴𝐶 , es el conjunto de
todos los resultados en 𝑆 que no están
contenidos en 𝐴.INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL - MODELOS ESTOCÁSTICOS - WILFREDO ROJAS LOWE
•
Eventos Mutuamente Excluyentes:
Cuando una colección de 𝑘 eventos no
tienen resultados en común se dice que
son eventos mutuamente excluyentes o
disjuntos.
𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ . . . ∩ 𝐴𝑘 = ∅
•
Eventos Exhaustivos: Cuando una
colección de 𝑘 eventos tiene como
resultado todos los elementos del
espacio muestral se dice que son
eventosexhaustivos.
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ . . . ∪ 𝐴𝑘 = 𝑆
•
Leyes de Morgan:
𝐴∩𝐵
𝐴∪𝐵
𝐶
𝐶
= 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶
= 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶
5
Diagrama de Venn
INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL - MODELOS ESTOCÁSTICOS - WILFREDO ROJAS LOWE
6
Propiedades de Probabilidad
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
PROPIEDADES DE PROBABILIDAD
Dado un experimento aleatorio y un espacio
muestral 𝑆, el objetivo de la probabilidad es
asignar a cada evento A un número 𝑃(𝐴),que
recibe el nombre de probabilidad de que el
evento 𝐴 ocurra.
1.
𝑃 ∅ =0
2.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
3.
𝑃 𝐴𝐶 = 1 − 𝑃 𝐴
4.
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵
5.
𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶 −
𝑃 𝐴∩𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐶 −𝑃 𝐵∩𝐶 +
𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶
6.
Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⟹ 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵
7.
Si 𝐵 ⊂ 𝐴 ⟹ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐵
Para cualquier evento 𝐴, 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1.
𝑃 𝑆 =1
2.
3.
1.
Sean 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 , 𝑛 eventos
mutuamente excluyentes...
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