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Unidad II: Procesos Estocásticos

Investigación de Operaciones II

Ing. Paulina González Martínez
Contacto: clasesdii@gmail.com

Unidad II: Procesos Estocásticos
 Procesos Estocásticos.
 Cadenas de Markov. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov.
 Clasificación de estados de una cadena de Markov.

 Tiempos de primera pasada.
 Propiedades de lago plazo de las cadenas de Markov.
 Cadenas de Markoven tiempo continuo.
AUTOESTUDIO:

-

Cap. Taha, “Cadenas de Markov”
Cap. Hillier-Liberman, “Cadenas de Markov”

PROCESO ESTOCASTICO

En ocasiones nos interesa conocer como cambia una variable aleatoria a
través del tiempo.
Consideremos las siguientes situaciones:
-Evolución del precio de las acciones en el mercado bursátil día a día
- Demanda diaria de un producto en un local de ventas
- Nivel deinventario diario, semanal, mensual de un determinado producto
- Cambios mes a mes en las preferencias de los clientes por un producto

En todas ellas se trata de una sucesión de eventos que se desarrollan en el
tiempo y en el cual el resultado en cualquier etapa contiene algún elemento
que depende del azar. Se dice entonces que se trata de procesos aleatorios
ó estocásticos.

PROCESOESTOCASTICO

En todos los ejemplos anteriores se observa alguna característica de un
sistema en puntos discretos del tiempo t ( t =0, t =1, t =2...... ).
Sea X(t) el valor de la característica observada, en el tiempo t . Dado que, en
la generalidad de los casos, no se conoce el valor de X(t) antes del tiempo t,
se tiene que las X(t) son variables aleatorias.
Un Proceso Estocástico de tiempo discreto es unmodelo para sistemas que
evolucionan en el tiempo de manera probabilística. Más formalmente un
Proceso Estocástico es una colección ó sucesión de variables aleatorias
X(t), t єT
Si T ={0,1, 2,3,.....} el proceso es de tiempo discreto
Si T = [0 , ∞ ) el proceso es de tiempo continuo

PROCESO ESTOCASTICO

Por lo tanto, un proceso estocástico se define como una colección indexada
de variablesaleatorias (Xt), donde el índice t toma valores de un conjunto T
dado.

Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos, y Xt
representa una característica de interés mesurable en el tiempo t.
El interés de los procesos estocásticos es describir el comportamiento de
un sistema en operación durante algunos periodos.

EJEMPLOS DE PROCESOS ESTOCASTICOS

Serie mensual de ventas de
unproducto

Estado de una máquina al
final de cada semana
(funciona/averiada)

Marca de detergente que
compra un consumidor cada
vez que se hace la compra.
Se supone que existen 7
marcas diferentes

Número de clientes
esperando en una fila cada
30 segundos

Número de unidades en
almacén al finalizar la
semana

ESTRUCTURA DEL PROCESO ESTOCASTICO

En puntos específicos del tiempo t el sistema se encuentraexactamente en
uno de un número finito de categorías ó ESTADOS mutuamente excluyentes
etiquetados por conveniencia de notación como 1, 2,3, .......,M

Por lo tanto el Proceso estocástico {Xt} t ∈ T = {X0, X1, X2, …., Xn} es una
representación matemática de cómo evoluciona el sistema físico en el
tiempo.

EJEMPLO 1: Ruina del jugador
Tengo inicialmente 2 dólares. Para t = 0, 1, 2, 3, ......participo en un juego en el que apuesto 1 dólar en
cada jugada. Gano 1 dólar con probabilidad p y
pierdo 1 dólar con probabilidad 1− p. El juego
termina si acumulo 4 dólares ó si quiebro.

EJEMPLO 1: Ruina del jugador
Sea Xt= capital luego del juego en el tiempo t .
Por lo tanto los estados del sistema son: 0; 1, 2, 3, 4 y
en consecuencia M = 5 estados.

EJEMPLO 2: Módulos de atención
• Se dispone de4 módulos de atención que se van
activando secuencialmente a medida que la cantidad
de usuarios que deben ser atendidos aumenta.
• Cada módulo tiene un máximo de usuarios a los que
se les puede entregar servicio.
• Cuando un módulo está completamente utilizado,
entra en servicio el siguiente módulo.
• Si un módulo deja de ser utilizado, el módulo se
desactiva temporalmente, quedando en servicio...