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4. Funciones cuadráticas
Funciones cuadráticas
Se dispone de 40 m de alambre para rodear un cantero rectangular en el que se va a realizar una plantación de rosales en un parque público. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cantero para que la superficie con césped resulte la máxima posible?Observemos primero que existen muchos rectángulos cuyo perímetro es de 40 metros,
a modo de ejemplo:

Cantero 1

Cantero 2
Las dos opciones de canteros propuestas, dan como resultado distintas superficies cercadas, aún teniendo igual perímetro:
Perímetro cantero 1: 40 m y perímetro cantero 2: 40 m.
Superficie cantero 1: 19 m2 y superficie cantero 2: 96 m2.
Nuestro objetivo es encontrar lasdimensiones del cantero, es decir la medida del largo (x)
y ancho (y), que pueda contener la mayor superficie posible, a fin de plantar una cantidad considerable de rosales. Sabemos que:
Superficie cantero = S Þ S = x . y, donde
Aquí, la superficie depende de dos variables, x e y.
Usando los datos del problema podemos reescribir la
misma para transformarla en una función.

y
x

Por el enunciado delproblema conocemos una relación entre x e y :
- perímetro del cantero = 2x + 2y Þ 2x + 2y = 40
Entonces:
2y = -2x + 40
y = -x + 20

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funciones elementales para construir modelos matemáticos

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Reemplazando y en la fórmula de la superficie: S = x.y podemos escribir dicha fórmila
como función de lavariable x :
S (x) = x(-x + 20)
S (x) = -x2 + 20x
Ahora observemos que:
• si el largo del cantero es x = 19 m, calculando la imagen de la función obtenemos:
S (19) = -192 + 20.19 ® S (19) = 19
Entonces, la superficie del cantero será de 19 m2 (coincide con lo que calculamos
para el cantero que diagramamos antes);
• si el largo del cantero es x = 12 m, calculando la imagen obtenemos
S (12) = -122 +20.12 ® S (12) = 96 m2.
Ahora el cantero tendrá una superficie de 96 m2. Igual que el diagrama, ¡lo que quiere decir que modelizamos bien!
• si el largo del cantero es x = 5 m tendríamos:
S (5) = 52 + 20.5 ® S (5) = 75m2.
En este caso el cantero tendría menor superficie: 75 m2.
Obviamente, es imposible seguir probando con todos los posibles largos del cantero
para ver la superficie. ¡Si siguiéramos,se habrían secado los rosales y aún no estaría cercado el cantero!
Pero, podemos observar aquí que para esta función S la variable x (largo del cantero)
aparece con exponente dos o potencia cuadrática, entonces, no es una función lineal,
del tipo de las que ya estudiamos.
En las funciones mediante las cuales se representan muchas situaciones y fenómenos
cotidianos aparece, como en el problemaanterior, la variable independiente (x) elevada a una potencia cuadrática. Como por ejemplo:
Ejemplo 1. En las siguientes situaciones está presente la función que se describe con la
variable independiente elevada al cuadrado:
a) área de un círculo en función del radio;
b) la altura alcanzada por un proyectil en función de la distancia recorrida por el
mismo;
c) espacio recorrido por un móvil enfunción del tiempo empleado en el movimiento
uniformemente acelerado9.

9

En física se define un movimiento uniformemente acelerado como aquél en el que el móvil se desplaza sobre una trayectoria
rectilínea y con una aceleración constante. Esto implica que para cualquier intervalo de tiempo, la aceleración del móvil tendrá
siempre el mismo valor. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caídalibre de un objeto.
funciones cuadráticas

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Notar que en
forma indistinta
escribiremos la
función cuadrática
utilizando el nombre de la misma f
o bien indicando
solamente el nombre de la variable
dependiente y.

A esta clase de funciones se las denomina función cuadrática.
Llamamos función...