04_DISTRIBUCIONES_PROBABILIDADES

CURSO BASICO DE PROBABILIDADES.

EVENTOS INDEPENDIENTES
DEFINICION: Sea X un experimento con espacio muestral S. A y B son dos subconjuntos no vacíos de S.
Los eventos A y B son eventos independientes si P(AlB) = P(AlS) = P(A) o P(BlA) = P(BlS) = P(B). Esto
equivale a decir, A y B son independientes si P(A∩B) = P(A)P(B).
TEOREMA: Si A y B son eventos independientes, entonces:
a) AC y BC sonindependientes.
b) AC y B son independientes.
c) A y BC son independientes.
DEFINICION: Sea X un experimento con espacio muestral S. A, B y C son tres subconjuntos no vacíos de
S. Decimos que A, B y C son eventos independientes si P(A∩B) = P(A)P(B), P(A∩C) = P(A)P(C), P(B∩C)
= P(B)P(C) y P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C).
TEOREMA: Si A, B y C son eventos independientes, entonces:
a) A, B y CC sonindependientes.
b) A, BC y CC son independientes.
c) AC, BC y CC son independientes.
Ejemplo 1:
Se lanza dos veces una moneda, y se definen los siguientes eventos:
A : = { aparece cara en el primer lanzamiento }
B : = { aparece cara en el segundo lanzamiento }
C : = { aparece la misma figura en ambos lanzamientos }
Determinar si A, B y C son independientes.
Solución:
S = { CC, SS, CS, SC }
A = { CC, CS }, B = {CC, SC }, C = { CC, SS }, A∩B = { CC }, A∩C = { CC }, B∩C = { CC } y
A∩B∩C = { CC }.
Entonces P(A) = 1/2, P(B) =1/2, P(C) = 1/2, P(A∩B) = 1/4, P(A∩C) = 1/4, P(B∩C) = 1/4 y
P(A∩B∩C) = 1/4.
Se puede ver que los eventos A, B y c no son independientes, ya que P(A∩B∩C) = 1/4
P(A)xP(B)xP(C) = 1/8.

y

Ejemplo 2:
Se extraen 2 cartas de una baraja normal de 52 cartas, una tras otra con reposición. Sedefinen los
eventos A y B como:
A = { Que la primera carta extraída sea una Pica }
B = { Que la segunda carta extraída sea un As }
Determinar si A y B son independientes.

Solución:
 13 
 4
 1
 
 
 
4 1
1
 1  13 1
 1
 1
P(A)=
= = ; P(B)=
= = ; P(A ∩ B)=
= .
52
52
52
52
4
52
13
52
 
 
 
 
 
 
1
1
 
 
1
Se puede verificar que se cumple la condición P(A∩B) =P(A)xP(B), por lo tanto los eventos A y B son
independientes.
Ejemplo 3:
3:
La probabilidad de que Anatoly, Boris y Gary, den en el blanco son respectivamente 1/6, 1/4 y 1/3. Si
cada uno dispara una vez al blanco,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos dé en el blanco?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo dos de ellos den en el blanco?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno delos tres dé en el blanco?
Solución (a):
(a):
P = P(A∩BC∩CC) + P(AC∩B∩CC) + P(AC∩BC∩C)
 1 3 2   5 1 2   5 3 1  6+10+15 31
P=  x x  +  x x  +  x x  =
=
72
72
6 4 3 6 4 3 6 4 3
Solución (b):
P = P(A∩B∩CC) + P(A∩BC∩C) + P(AC∩B∩C)
 1 1 2   1 3 1   5 1 1  2+3+5 10 5
P=  x x  +  x x  +  x x  =
= =
72
72 36
6 4 3 6 4 3 6 4 3
Solución
Solución (c):
P = P(A∩BC∩CC) +P(AC∩B∩CC) + P(AC∩BC∩C)
 1 3 2   1 3 1   5 1 1  6+3+5 14 7
P=  x x  +  x x  +  x x  =
=
=
72
72 36
6 4 3 6 4 3 6 4 3
Ejemplo 4:
La siguiente tabla muestra las probabilidades de contraer un cáncer un grupo de fumadores y no
fumadores de una población dada:
SI FUMA
NO FUMA

SI CONTRAE CANCER
60%
10%

NO CONTRAE CANCER
10%
20%

Determinar si los siguientes eventos definidos como A:= { Esfumador } y B:= { Si contrae cáncer }
son independientes:
Solución:
Tenemos que P(A) = 70%, P(B) = 70%, P(A∩B) = 60% y P(A)xP(B) = 49%.
Se puede ver que los eventos no son independientes, ya que no se cumple P(A∩B) = P(A)xP(B).
Ejemplo 5:
En cierta ciudad, la probabilidad de que a un día lluvioso le siga otro día lluvioso en el mes de mayo es
del 80%, y la probabilidad de que a un día soleado le sigaun día lluvioso es del 60%. Suponiendo que
cada día se clasifica como lluvioso o soleado y que el clima de cualquier día no depende exclusivamente

del clima del día anterior, ¿Cuál es la probabilidad de que en esa ciudad, en el mes de mayo, a un día
lluvioso le sigan otros dos días lluviosos, después un día soleado y finalmente otro día lluvioso?
Solución:
Supóngase que L0 es un día...