04 trigonometria

Ministerio de Educación
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Rosario

SECRETARÍA ACADÉMICA
ÁREA DE INGRESO

MATEMÁTICA

- Septiembre de 2013 -

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 Nociones de Trigonometría:
La trigonometría se dedica al estudio de las relaciones que existen entre las medidas de
los ángulos y lados de un triángulo.Definimos al ángulo como la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que
tienen el mismo origen. Ese punto, origen de ambas semirrectas, es el vértice del ángulo; las dos
semirrectas son los lados del ángulo.
Cuando las dos semirrectas son perpendiculares, al ángulo se le llama recto, y cuando
una de ellas es prolongación de la otra, el ángulo es llano.
Los ángulos menores que un ángulorecto son ángulos agudos, y ángulos mayores que
un ángulo recto, pero menores que un ángulo llano son ángulos obtusos.
Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto.
Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo llano.

Podemos medir ángulos en:
Grados sexagesimales
Radianes
En el sistema sexagesimal, un ángulo recto mide 90 grados, un grado equivale a sesenta
minutos y un minuto asesenta segundos.
En dicho sistema:
360º es el ángulo determinado por una vuelta
completa
180º es la mitad del ángulo de una vuelta
90º es 1/4 del ángulo de una vuelta
1º es 1/360 del ángulo de una vuelta
En el sistema radial (ó circular) se utiliza la longitud del arco como medida del ángulo. La
unidad de medida se denomina radián.

Trigonometría

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Un radián es la medida de un ángulo central que abarca un arco cuya longitud es igual a
la longitud del radio de la circunferencia considerada.
El sistema radial es muy utilizado en física ya que es
mucho más práctico y directo que trabajar con grados.

Ángulo de 1 radián
La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco
decircunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es
independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir un disco en n sectores iguales, el ángulo
de cada n-ésimo sector circular es el mismo para cada sector, independiente del radio del disco.
De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo
basta multiplicar el radiopor el ángulo en radianes.
Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia]
Ya

que

conocemos

el

perímetro

de

una

circunferencia de radio unitario (2 r = 2), entonces el

Equivalencia entre los ángulos en
radianes y grados sexagesimales

ángulo de una vuelta completa, medido en radianes es
2. Como además sabemos que este mismo ángulo,
medido

en

gradosmide

360º,

entonces

podemos

establecer la siguiente equivalencia:
2 = 360º
1 radian = 57º 17’ 44,8’’
A partir de esta igualdad, determinamos que:

Tabla de equivalencias entre ángulos
Grados sexagesimales

Trigonometría

Radianes

90º

=

/2

60º

=

/3

45º

=

/4

30º

=

/6

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Ejemplo:
1) Calcula lamedida en grados, minutos y segundos de un ángulo de 2 radianes.
Solución
Mediante una regla de tres:
2 rad ___________

360º

2 rad ___________

x

x

2rad.360º
 x  114º35'29' '
2rrad

Rta.: 2rad  114º35'29' '

2)

Encuentra







congruente con 2123º tal que 0<  <360º.

Solución
Dividimos por 360º:
2123º / 360º = 5,897222... vueltas.
Restando las vueltas completas queda:
0,8972 x 360º =323º
Rta.:



 =323º

 Relaciones fundamentales: SENO, COSENO Y TANGENTE
El triángulo OAC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno
y coseno.

Trigonometría

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En un triángulo rectángulo, sen  es la razón entre la medida del cateto opuesto
al ángulo  y la medida de la...