05 Cap

La aritmética de los relojes
Por Paulo Tirao

1. Introducción.
2. La aritmética del reloj.
3. Los enteros módulo m.
4. La aritmética modular.
5. Aplicaciones a la aritmética entera.
6. Las reglas de divisibilidad.
7. Ecuaciones lineales en la aritmética modular.
8. Residuos cuadráticos.
9. Los códigos de Julio César.

4.

4.1. Introducción
El médico:
Ahora son las 10 de la mañana. Tome lapróxima pastilla a las 2 de la tarde, y luego una cada 8 horas.
El paciente:
OK. Entonces tomo la próxima a las 2 de la tarde,
luego a las …. 2 más 8 … eso es a las 10 de la noche,
otra a las 10 más 8 … a las 6 de la mañana, después a
las 6 más 8 … 14, ¡ah! de nuevo a las 2 de la tarde. Entonces sigo
así: a las 2 de la tarde, a las 10 de la noche y a las 6 de la mañana.
Muchas gracias (ver figura4.1). Hasta luego.
¡Qué manera de sumar! ¿Así que 10 + 8 = 6? ¡Qué bonito!
Bueno…. Sí, en la aritmética del reloj sí.
No es difícil encontrar otras situaciones donde esta aritmética:
la aritmética del reloj, cíclica o modular, aparece naturalmente.
El médico:
Bueno, hoy es martes. A ver…, vuelva entonces en 10 días.
El paciente:
Muy bien. No hay problema. Hoy es martes, en 10 días será…,perfecto viernes. Estaré desocupado. Muchas gracias.
La aritmética de los relojes

Cap 04.indd 131

131

28/09/2010 12:38:07 a.m.

11

12

¡Qué manera de sumar! Así que martes +10 = viernes. ¡Qué bonito!
Bueno…. Sí, en la aritmética de la semana sí.

1
2

10
10
+8

3

9
4

8
6
7

Figura 4.1

Si le ponemos números a los días de la semana, empezando con domingo = 0,
lunes = 1, martes = 2, etc., resultaque martes + 10 = 2 + 10, que ya sabemos
da viernes = 5. Es decir, en la aritmética de la semana 2 + 10 = 5.
A esta altura también podemos contestar correctamente cuánto es 2 + 10
en la aritmética del reloj, y cuánto es 10 + 8 en la aritmética de la semana.

5
6

Recopilando
En la aritmética del reloj
En la aritmética de la semana

10 + 8 = 6
10 + 8 = 4

2 + 10 = 0.
2 + 10 = 5.

Elresultado cambia cuando pasamos de la aritmética del reloj, que
tiene 12 horas, a la aritmética de la semana, que tiene 7 días. De hecho,
podemos ubicar los días de la semana como las horas de un reloj de 7
horas. Dispuestos así, vemos que la aritmética de la semana y la de este
reloj de 7 horas, son muy parecidas.
Como veremos más adelante esta aritmética cíclica o modular
aparece como herramientaútil en situaciones en las que, quizá, no
lo sospechábamos. Sin embargo, esto no sorprende demasiado a un
matemático. En efecto, una vez que comprendemos una situación dada,
entendemos su estructura y sus leyes, entonces podemos crear una teoría
que cobra vida propia. Es frecuente, que no sólo sirva para explicar el fenómeno original
que le dio vida, sino que encuentre utilidad en muchas otrassituaciones preexistentes, o
en situaciones y modelos creados basados en esta teoría.
En este capítulo nos familiarizaremos con estas aritméticas hasta ser capaces de hacer
cuentas como sumas, restas y multiplicaciones, de la misma manera que lo hacemos en
la aritmética tradicional. Daremos un marco formal y riguroso con ideas matemáticas
sencillas, pero fundamentales. Marco que permite que esas ideas sepuedan extender y
generalizar a otras aritméticas dentro de la matemática.
Más adelante, veremos aplicaciones más sofisticadas como las reglas de divisibilidad.
También incluiremos una sección dedicada a la teoría de códigos. Desde muy temprano
en la historia, la aritmética modular estuvo ligada a la construcción de códigos para el
envío de mensajes secretos. Se le atribuye a Julio César elinvento de uno de los primeros
códigos que usaron los ejércitos romanos por largo tiempo de forma efectiva y exitosa.
Estos códigos se basan en la aritmética modular.

132

Cap 04.indd 132

Aventuras matemáticas

28/09/2010 12:38:08 a.m.

4.2. La aritmética del reloj

0

Todos tenemos alguna experiencia en hacer cuentas con horas o con
los días de la semana. Por esto exponemos directamente el tema...