05_Capitulo

Unidad 5: Integración de ecuaciones de movimiento
Métodos:
• Euler
• Verlet
• Verlet de velocidades
• Runge-Kutta
Aplicación a integración de ecuaciones de movimiento de Newton.
Órbitas.
Sistemas de partículas.
Sistemas mecánicos.

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden.

Sea la EDO de primer orden, con condición inicial:
dx/dt=f(x) con condición inicial x(t0)=x0
Se conocef(x) y se pretende obtener x(t).
La serie de Taylor de x(t) (hasta orden uno)
x(t)=x(t0)+(dx/dt)t=t0(t-t0)+...
que tomando
t=(t-t0) y f(x0)=(dx/dt)t=t0
se tiene
x(t)=x0+f(x0) t
El método de Euler se basa en utilizar recursivamente (iterativamente) la
expresión anterior para encontrar una secuencia de soluciones x en valores
sucesivos de t:
x1=x0+f(x0) t
x2=x1+f(x1) t
x3=x2+f(x2) t
...xn+1=xn+f(xn) t

Ejemplo:
Considérese la EDO:
dx/dt=a*(x-f)
La solución analítica es conocida:
x(t)=f+eat (x0-f)

con a=1, f=20, x0=x(t=0)=100.

Escribir un script que obtenga x(t) en el intervalo [0,5] mediante el método de Euler, y
comparar gráficamente con la solución analítica para diversos valores de t.
a=1 ; f=20 ; x0=100 ;
Dt=0.1 ; t_ini=0 ; t_fin=5 ;
n=(t_fin-t_ini)/Dt ; % número de iteracionesde Euler
x=zeros(1,n) ;
t=zeros(1,n) ;
t(1)=t_ini ; x(1)=x0 ;
for i=2:n
t(i)=t(i-1)+Dt ;
x(i)=x(i-1)+a*(x(i-1)-f)*Dt ;
end
t_ana=[t_ini:Dt/10:t_fin] ; x_ana=f+exp(a*t_ana)*(x0-f) ;
plot(t_ana,x_ana,t,x,'*') ;
xlabel('t'); ylabel('x'); legend('Analítico','Numérico');

Método de Euler aplicado a las ecuaciones de movimiento de Newton
En coordenadas cartesianas (para x), para una fuerza conocida F(x)sobre una
partícula de masa m, con aceleración a(x)=F(x)/m sólo dependiente de la
posición se tiene una EDO de segundo orden que puede reducirse a un
sistema de dos EDO de primer orden:
dv/dt=a(x)
dx/dt=v(x) donde v(x) se obtiene de la ecuación anterior.
Con condiciones iniciales x0 y v0.

Se aplica el método de Euler de forma iterativa, escogiendo un intervalo t
suficientemente pequeño:vn+1=vn+an t
xn+1=xn+vn t
Ejercicio: Emplear el método de Euler para encontrar la trayectoria 2D y(x) de
un proyectil en el campo gravitatorio terrestre (ay=-9.8 m/s^2).
Posteriormente, añadir cierta fricción dependiente de la velocidad.

Método de Verlet

Este método se basa en desarrollar en serie de Taylor hasta orden 3, hacia delante y
hacia detrás en el tiempo:

NOTAS:
Es más exacto que Euler, yaque desarrolla Taylor hasta orden 3.
No calcula la velocidad, aunque puede calcularse a posteriori:

También puede calcularse la velocidad en el momento, aunque con menos exactitud:

Método Verlet de velocidades
Es adecuado cuando hace falta calcular la energía cinética durante el movimiento. Se
obtiene desarrollando en serie de Taylor la velocidad. Las ecuaciones recursivas son:

EjerciciosEjercicio: Para poner a prueba los métodos anteriores, puede integrarse el movimiento
de un oscilador armónico de masa 0.1 kg y constante elástica 1.2 N/m durante un
intervalo de tiempo de 10 s, con posición inicial 0.2 m y velocidad inicial -0.3 m/s.
Deben compararse gráficamente las soluciones que se obtienen con los métodos de
Euler, Verlet, Verlet de velocidades y analítico. Comprobar laconservación de la energía.
Añadir rozamiento para generar el movimiento de un oscilador amortiguado.

Ejercicio: Resolver el problema de la órbita de la Luna o de un planeta (con datos reales)
seleccionando la posición y velocidad iniciales y obteniendo en periodo de revolución y
los semiejes de la órbita (encontrando los ceros de la distancia radial y sus máximos y
mínimos).

Ejercicio: Obtener elperiodo de un péndulo (no linealizado) en función de la amplitud de
oscilación.

Métodos Runge-Kutta
Se trata de métodos avanzados que proporciona MATLAB, cuyo funcionamiento
interno se estudiará en Computación II. Aquí podrá emplearse como caja negra.
Sirven para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Veamos
un ejemplo para resolver el tiro parabólico.

Sintaxis básica:...