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Páginas: 2 (353 palabras)
Publicado: 14 de julio de 2015
Ecuación de Clairaut
Suponga que
este punto está dada por
es una función real. Si
la recta tangente a la gráfica de la función en
Observe que esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricascon parámetro
una ecuación diferencial cuya solución general sea esta familia de curvas.
Si
y
tiene una inversa
recta tangente como
cerca de
, entonces
. Entonces podemos encontrar
y podemosreescribir la ecuación de la
La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut 1.3.
Definición [Ecuación de Clairaut]
Una ecuacióndiferencial de primer orden
se conoce como ecuación de Clairaut. Donde
que puede escribirse en la forma
es una función continuamente diferenciable.
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe alhecho de que tiene como solución a una familia de rectas.
Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este
caso una solución singular,de la ecuación de Clairaut.
Teorema[Solución de la ecuación de Clairaut]
la ecuación de Clairaut
(1.18)
donde
es una función derivable, tiene como solución general
y como solución singularDemostración
Para resolver la ecuación 1.18 hacemos la sustitución
para obtener
(1.19)
Derivando ambos lados respecto a
de donde obtenemos que
Surgen dos casos
Caso 1:
Si
, entonces
y sustituyendo enla ecuación 1.19 obtenemos la solución general
.
Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación 1.18
por .
Caso 2:
Si
, entonces
y sustituyendo en la ecuación1.19
, es decir
Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro. Observe que esta solución no es un
caso particular de la solución general, por lo que se trata de unasolución singular.
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
Solución:
La solución general es la familia de rectas
dada por
y como
la solución singular está
Observe que estas son las ecuaciones...
Suponga que
este punto está dada por
es una función real. Si
la recta tangente a la gráfica de la función en
Observe que esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricascon parámetro
una ecuación diferencial cuya solución general sea esta familia de curvas.
Si
y
tiene una inversa
recta tangente como
cerca de
, entonces
. Entonces podemos encontrar
y podemosreescribir la ecuación de la
La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut 1.3.
Definición [Ecuación de Clairaut]
Una ecuacióndiferencial de primer orden
se conoce como ecuación de Clairaut. Donde
que puede escribirse en la forma
es una función continuamente diferenciable.
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe alhecho de que tiene como solución a una familia de rectas.
Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este
caso una solución singular,de la ecuación de Clairaut.
Teorema[Solución de la ecuación de Clairaut]
la ecuación de Clairaut
(1.18)
donde
es una función derivable, tiene como solución general
y como solución singularDemostración
Para resolver la ecuación 1.18 hacemos la sustitución
para obtener
(1.19)
Derivando ambos lados respecto a
de donde obtenemos que
Surgen dos casos
Caso 1:
Si
, entonces
y sustituyendo enla ecuación 1.19 obtenemos la solución general
.
Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación 1.18
por .
Caso 2:
Si
, entonces
y sustituyendo en la ecuación1.19
, es decir
Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro. Observe que esta solución no es un
caso particular de la solución general, por lo que se trata de unasolución singular.
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
Solución:
La solución general es la familia de rectas
dada por
y como
la solución singular está
Observe que estas son las ecuaciones...
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