06 Lugar de Raices

1.

1.

Método del Lugar de las Raíces

MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES .........................................................1
1.1. IDEA BÁSICA..............................................................................................................3
1.2. LUGAR DE LAS RAÍCES DE SISTEMAS SIMPLES .......................................................10
1.3. LUGAR DE GANANCIACONSTANTE.........................................................................12
1.4. REGLAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES .............................32
1.4.1. Regla No. 1: Número de Ramas ......................................................................32
1.4.2. Regla No. 2: Puntos de Comienzo y Final ......................................................33
1.4.3. Regla No. 3:Comportamiento en el Eje Real.................................................34
1.4.4. Regla No. 4: Simetría ......................................................................................35
1.4.5. Regla No. 5: Asíntotas .....................................................................................36
1.4.6. Regla No. 6: Intersección de Asíntotas...........................................................38
1.4.7. Regla No. 7: Ángulos de Salida y Llegada .....................................................39
1.4.8. Regla No. 8: Punto de Dispersión o Confluencia...........................................41
1.4.9. Regla No. 9: Intersección con el Eje Imaginario ...........................................45
1.4.10. Regla No. 10: Cálculo de la Ganancia.........................................................47
1.4.11. Regla No. 11: Suma de Raíces ......................................................................48
1.5. ADICIÓN DE UN CERO EN UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN .................................49
06 Lugar de Raíces.doc 1

1.6. ADICIÓN DE UN POLO EN UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN ..................................50
1.7. SISTEMA CON RETARDO PURO................................................................................51

06 Lugar de Raíces.doc 2

1.1. Idea Básica
La respuesta de un sistema depende de la posición de los polos en lazo cerrado
Estos, a su vez dependen de la posición de los polos y ceros en lazo abierto
Método:
Se traza la ubicación de las raíces de un sistema el lazo cerrado haciendo variar un parámetro del sistema
Habitualmente elparámetro es el valor de la ganancia del regulador
Esta ganancia se hace variar desde cero a infinito

R (s)

+

K

G (s)

Y (s)

-

06 Lugar de Raíces.doc 3

R (s)

+

Y (s)

R(s)

=

KG ( s )

1 + KG ( s )

K

G (s)

Y (s)

-

[1.1]

la ecuación característica es:

1 + KG ( s ) = 0

o

KG ( s ) = −1

Se debe cumplir en magnitud y fase

KG ( s ) = ±180D ( 2k + 1) k = 0,1, 2"
KG ( s ) = 1

[1.2]

[1.3]estos puntos son las raíces de la ecuación característica o polos

06 Lugar de Raíces.doc 4

Ejemplo 1.1. Sistema de Segundo orden

1
G (s) =
s ( s + 1)

[1.4]

Y (s)
K
= 2
R (s) s + s + K

[1.5]

la ecuación característica es:

s 2 + s + K = 0 [1.6]
Las raíces están en

1
1 − 4K
s1,2 = − ±
2
2

[1.7]

las raíces son reales para K ≤ 1

4

06 Lugar de Raíces.doc 5

Gráfica del lugar de las raícespara todo K
g=tf(1,poly([0 -1]));rlocus(g);grid
1.5

K=1

1

Imag Axis

0.5
K=0

K=0
0

K=1/4

-0.5

-1

-1.5
-2

-1.5

-1

-0.5
Real Axis

0

0.5

1

06 Lugar de Raíces.doc 6

- los polos en lazo cerrado para K = 0 son los de lazo abierto
- al crecer K los polos se acercan uno a otro hasta ser iguales
- la parte real es independiente de K
- se cumple que
-

K
= − s − s + 1 = −θ1 − θ 2 = ±180D (2k + 1) k = 0,1, 2"
s ( s + 1)

[1.8]

06 Lugar de Raíces.doc 7

1.5

K=1

1

Imag Axis

0.5

P

s+1

θ

0

s

θ1

2

-0.5

-1

-1.5
-2

-1.5

-1

-0.5
Real Axis

0

0.5

1

Todo punto que pertenezca al lugar de las raíces debe cumplir la condición de
ángulo.
Dados los polos en lazo cerrado se puede calcular la ganancia correspondiente,
por ejemplo
06 Lugar de Raíces.doc 8

1
s1 = − ± j 2
2...