061 Calculo_UnaVariable Primer_Parcial_Hendel_Yeker

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CALCULO
PRIMER

DE UNA VARIABLE.

EXAMEN

PARCIAL

Profesor: Hendel Yaker A.

Grupo 01

22 de febrerode 2006

1. (11 puntos) En cada uno de los siguientescasosencuentreellímite, si existe. Si no lo hay,explique por
qué.
senx

i) liro -.:iL
sen(~)
x--+6

iii) lim

ií) ~~ x + tanx

X -6

X1000 -1

%-..1

X -1

2. (14 Puntos) En cada uno de lossiguientescasosutilice la informaciónque se suministra para calcular
la derivadaque sepide:
(a) f(x) = tan-l (x -~)j

¿J'(x) =?

(b) f(x) = el-3xcsC3 (22xtan~(X3));
(c) f(x) = g(g(X2)) :

x

¿f'(X) =?

g(2) = 1, g(.;2) = O, g(l) = 3, g'(2) = -1,

g'(.;2) = 10, g'(l) = -3;

¿f'(.;2) =?

3. (10 puntos) Considere la función

f(x) =

x2sen(~)

si x < O

o

siO -7f

(x -~) sen(~) si x?: ~

(a) Determine los valoresde 1(-;),

1(0), 1(;)

y I(~)

(b) Determine si existenpuntos donde f es discontinua.
(c) Encuentreuna fórmulaexplícita para J'(x) y determine,si es posible,los valoresde :
J'(O), J'(~) y J'(~)

f'(-~),

4. (15 puntos) En cada uno de los siguientes C880Sdetermine si el enunciado es verdadero ofalso. Si es
verdadero explique por qué. Si es falso explique por qué o de un ejemplo que lo refute.

(a) La función f(x) = [Ixl] + [1- xl] tiene una discontinuidadremovible enx = 2.
(b) Si la recta tangente a una curva y = f(x) pasa por el punto (1,1) y es paralela a la recta
-3x + y = 2, podemosasegurarque 1'(1) = 3.
(c) Existe por lo menos unarecta de pendiente -1 que es tangente a la curva de ecuación x2y2+xy = 2.

(d) La curva

y=

In__: ~:- , 1 tiene 2 asÍntotas verticales y 2 asÍntotas horizontales.
v 2x2 + 3x + 1(e) La ecuación ex = 2 -x

tiene por lo menos una solución real.

5. (Adicional. 7 puntos) Pruebe que si f es una función impar derivable,entonces f' es una función

par.



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