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IWC-240 Mecánica de Sólidos
ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Sistemas estáticamente determinados
En muchos casos de diseño de componentes cargados axialmente, es determinante saber
predecir el comportamiento de la deflexión que sufre.
Considérese el caso general de una barra cargada axialmente como indica la figura.

La deformación unitaria en la
dirección x es:
ε

δ
δ

Dondeδu es la deformación
axial de un elemento
infinitesimal y δx
es el
tamaño inicial del elemento
diferencial.

uB
P1

uD
B

P2

P3

D

P4

dx

x
Px

Px + dPx

dx + εx dx

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Reescribiendo (*) en términos de δu
δ
Luego,

ε ∙δ

δ =u l −u 0 =

ε ∙δ

Donde u(l) y u(0) son desplazamientos absolutos
Nótese que la diferenciau(l) - u(0) representa el cambio de longitud Δ entre los puntos D y B.
Por consiguiente:

∆l =

ε ∙δ

Sabemos de acuerdo a la ley de Hooke (para materiales elásticos lineales) que:
σ
E
P
σ =
A

ε =
donde,

Luego,

∆l =

P ∙δ
A ∙E

Donde: Px P(x)
Ax A(x)
Ex E(x)
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Ejemplo
Considérese la barra de sección transversalconstante A,
de longitud L, con módulo de elasticidad E.
Determínese la deflexión del extremo libre causada por
la aplicación de una fuerza concentrada.

B

C

Desarrollo
DCL

B

C

C’

P

P

Del diafragma puede concluirse que tanto la fuerza P como la sección de la barra permanecen
constante en el largo L.
Luego,

P ∙δ
A ∙E

∆l

P
A∙E

δ

P∙L
A∙E

P∙L
A∙E
Nótese en esta ecuación que la deflexión esdirectamente proporcional a la carga P y el largo L es
inversamente proporcional al área A y al módulo de elasticidad E.
∆l

∆

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Gráficamente

Fuerza
De acuerdo al principio de transmisibilidad, la carga se
transmite de manera constante a lo largo de la barra

P
L

X

Deformación unitaria
La deformación unitaria axialpermanece constante a lo
largo de la barra puesto que el material el homogéneo y
la sección transversal el constante

L

X

Desplazamiento
El desplazamiento es creciente, depende de la distancia
al punto de empotramiento. Al inicio es cero y el valor
máximo ocurre en x=L

P
A∙E

∆=
L

P∙L
A∙E

X

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La ecuación ∆=Donde k =

P∙L
puede presentarse convenientemente como:
A∙E
A∙E
P A∙E
P=
∆ → =
L
∆
L

P
representa la constante de resorte o rigidez.
∆

K representa la fuerza requerida para producir una deflexión unitaria.
Luego, para la i-ésima barra cargada axialmente o un segmento de barra de longitud Li
k =

A ∙E
L

Análogamente definimos la flexibilidad f como
1
L
f= =
k
F

f representa la deflexiónresultante de la aplicación de una fuerza unitaria.
Luego,

f =

L
A ∙E

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Ejercicios
Una masa m 2kg está unida a una barra de una
aleación de níquel y tiene 20 [mm ] de diámetro y 400
[mm] de longitud.
Determine la frecuencia de vibración. Considere la masa
concentrada en un punto y desprecie el peso de la barra.
Para labarra, sea E= 180 [GPa]
GPa]
La frecuencia natura de vibración es:
f

x
Ø=20

1 g
2π ∆

donde g es la aceleración de gravedad y Δ es la deflexión
estática del sistema.

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Desarrollo
E=180[GPa]
∆l x =

P ∙ δx
P
=
A ∙E A∙E

δx =

P∙L
A∙E

20[N] ∙ 0,4[m] ∙ 4
=
π ∙ 20 ∙ 10/0 1 ∙ 180 ∙ 102 [Pa]
∆l x = L = 1,41 × 10 [m]
/4DCL
R
x
Ø 20 mm

El extremo de la barra sufre un desplazamiento de
1,41 × 10/4 [m]
Obtenido Δ determinamos la frecuencia natural del
sistema
1 g
f=
2π ∆

P

10 m6 1
1
s
f=
= 1338[Hz]
2π 1,41 × 10/4 [m]
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Ejercicio
Tres esferas se encuentran suspendidas como indica la
figura. Considere E = 160 [GPa]
l1 = l2 = l3 =...