07 Propor Sol

IES Fco Ayala de Granada

Soluciones

Germán-Jesús Rubio Luna

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007)

Ejercicio 1.Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos
hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la
proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantesde esa Universidad.
Solución
Sabemos que si n ≥ 30 para la proporción muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL 
p sigue
p ⋅ q
) que es la distribución muestral de proporciones, donde 
q = 1- 
p, y
n
p ⋅ q
p ⋅ q
) o p → N( 
).
generalmente escribimos p ≈ N( 
p,
p,
n
n

p,
una normal N( 

Sabemos que el intervalo de confianza para estimar la proporción p de las muestras es:

ˆ ˆ
ˆˆ
p·q
p·q
I.C.(p) =  pˆ - z1−α / 2 .
,pˆ + z1−α / 2 .
 = (b-a)

n
n 

donde z1-α/2 es el punto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z≈N(0,1) que verifica
p(Z ≤ z1-α/2)=1-α/2.
ˆ ˆ
ˆ − p)
ˆ
(z )2 .p.q
p(1
= (b-a)/2, de donde el tamaño de la muestra es n > 1-α/2 2
.
El error cometido es E < z1−α / 2 .
n
E
Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontróque 54 de ellos
hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la
proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad.
Datos del problema: 
p = 54/120 = 0’45, 
q = 1 - 0’45 = 0’55, n = 120, nivel de confianza 1 – α = 90% =
= 0’90, de donde α = 0’10 = 10% como nivel de significación.
De α = 0’10 tenemosα/2 = 0’05
De la igualdad p(Z ≤ z1-α/2 ) = 1 - α/2 = 1 - 0’05 = 0’95, que se mira en la tabla de la distribución Normal
N(0,1), y nos dará el correspondiente valor crítico z1 - α/2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor
0’95 no viene en la tabla y el uno de los más próximo es 0’9495 que corresponde a z1-α/2 = 1’64. Por tanto el
intervalo de confianza pedido es:


ˆ ˆ
ˆ ˆ
0'45·0'55
0' 45·0'55 
p·q
p·q
I.C.(p) =  pˆ - z1−α / 2 .
,0' 45 + 1' 64·
,pˆ + z1−α / 2 .
 =  0' 45 - 1' 64·
 ≅

120
120
n
n 



≅ (0’3755; 0’5245)
Ejercicio 2.Con los datos del ejercicio anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error
que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporción de alumnos que hablan inglés en esa
Universidad no seasuperior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%. ¿Cuántos alumnos tendríamos que
tomar, como mínimo, en la muestra?
Solución
Sabemos que si n ≥ 30 para la proporción muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL 
p sigue
p ⋅ q
) que es la distribución muestral de proporciones, donde 
q = 1- 
p, y
n
p ⋅ q
p ⋅ q
) o p → N( 
).
generalmente escribimos p ≈ N( 
p,
p,
n
n

una normal N( p,

gjrubio@hotmail.com

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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007)

Sabemos que el intervalo de confianza para estimar la proporción p de las muestras es:

ˆ ˆ
ˆ ˆ
p·q
p·q
I.C.(p) =  pˆ - z1−α / 2 .
,pˆ + z1−α / 2 .
 = (b-a)

n
n 

donde z1-α/2 es el punto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z≈N(0,1) queverifica
p(Z ≤ z1-α/2)=1-α/2.
ˆ ˆ
ˆ − p)
ˆ
(z )2 .p.q
p(1
= (b-a)/2, de donde el tamaños de la muestra es n = 1-α/2 2
.
El error cometido es E < z1−α / 2 .
n
E
Con los datos del ejercicio anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error
que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporción de alumnos que hablan inglés en esa
Universidad no seasuperior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%. ¿Cuántos alumnos tendríamos que
tomar, como mínimo, en la muestra?
Datos del problema: 
p = 0’45, 
q = 0’55, E < 0’05, nivel de confianza 1 – α = 99% = 0’99, de donde α = 0’01=
= 1% como nivel de significación.
De α = 0’01 tenemos α/2 = 0’005
De la igualdad p(Z ≤ z1-α/2 ) = 1 - α/2 = 1 - 0’005 = 0’995, que se mira en la tabla de la...