07 Sol Soc

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APLICACIONES
DE LA DERIVADA

Página 168
Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada
■

Analiza la curva siguiente:

f decrece
f' < 0

f crece
f' > 0

f decrece
f' < 0

f crece
f' > 0

f decrece
f' < 0

Página 169
Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada
■

Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes:
D
A

E

C

B
f convexa

f cóncava

f 'decreciente

f ' creciente

f '' < 0

f '' > 0

G
F

CD → f convexa → f ' decreciente → f" < 0
DE → f cóncava → f ' creciente → f" > 0
EF → f convexa → f ' decreciente → f" < 0
FG → f cóncava → f ' creciente → f" > 0
Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

1

■

Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones:
• La función está definida en [0, 7].
• Solo toma valorespositivos.
• Pasa por los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1).
• En el intervalo (1, 2), la función es convexa.
• En el intervalo (2, 4), f '' > 0.
• En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente.
• En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

1

0

1

2

3

4

5

6

7

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3
2
1. Halla las rectas tangentes a la curva y = 5x + 7x – 16x en los puntos de absx–2
cisas 0, 1, 3.

Calculamos la derivada de lafunción:
2
3
2
3
2
y' = (15x + 14x – 16)(x – 2) – (5x + 7x – 16x) = 10x – 23x – 28x + 32
(x – 2)2
(x – 2)2

Ordenadas de los puntos:
y (0) = 0; y (1) = 4; y (3) = 150
• Recta tangente en (0, 0): y ' (0) = 8
y = 8x
• Recta tangente en (1, 4): y ' (1) = –9
y = 4 – 9(x – 1) = –9x + 13
• Recta tangente en (3, 150): y ' (3) = 11
y = 150 + 11(x – 3) = 11x + 117
2. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes ala curva y = x 3 – 4x + 3 que sean
paralelas a la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto.
y = x 3 – 4x + 3

Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

2

Calculamos la derivada:
y' = 3x 2 – 4
Si son paralelas a la bisectriz del 2-o y 4-o cuadrante, la pendiente es –1. Por tanto:
3x 2 – 4 = –1

→

3x 2 = 3

→

x2 = 1

→

x = ±1

y(–1) = 6 y(1) = 0
Recta tangente en (–1, 6):
y = 6 – (x + 1) = –x +5
Recta tangente en (1, 0):
y = 0 – (x – 1) = –x + 1

Página 171
1. Dada la función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5, averigua:
a) Dónde crece.

b) Dónde decrece.

y' = 3x 2 – 6x – 9 = 3(x 2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1)
a) x < –1 → y' > 0 → f es creciente en (–∞, –1)
x > 3 → y' > 0 → f es creciente en (3, +∞)
b) –1 < x < 3 → y' < 0 → f es decreciente en (–1, 3)

Página 173
2. Comprueba que la función y = x3/(x – 2)2 tiene solo dos puntos singulares, en
x = 0 y en x = 6.
Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada.
2
2
3
2
y' = 3x (x – 2) – 2(x – 2)x = x (x – 2) (3(x – 2) – 2x) =
4
(x – 2)
(x – 2)4
2
2
= x (3x – 6 – 2x) = x (x – 6)
3
(x – 2)
(x – 2)3

y' = 0 → x 2 (x – 6) = 0

x=0
x=6

f ' (–0,01) > 0 
 En x = 0 hay un punto de inflexión.
f ' (0,01) > 0 
f '(5,99) < 0 
 En x = 6 hay un mínimo relativo
f ' (6,01) > 0 
Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

3

f ' (–0,01) > 0 
 En x = 0 hay un punto de inflexión.
f ' (0,01) > 0 
f ' (5,99) < 0 
 En x = 6 hay un mínimo relativo
f ' (6,01) > 0 
3. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función
y = –3x 4 + 4x 3. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo escada uno de ellos.
b) Ídem para y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9.
a) y' = –12x 3 + 12x 2 = 12x 2 (–x + 1)

y' = 0

x=0
x=1

→
→

Punto (0, 0) 
 Dos puntos singulares.
Punto (1, 1) 

Los dos puntos están en el intervalo [–1; 1,5],
donde la función es derivable.

1

Además, f (–1) = –7 y f (1,5) = –1,7.

1

• En (0, 0) hay un punto de inflexión.
• En (1, 1) hay un máximo relativo.

b) y' = 4x 3 +24x 2 + 44x + 24 = 4(x + 1)(x + 2)(x + 3)

y' = 0

x = –1
x = –2
x = –3

→
→
→

Punto (–1, 0) 

Punto (–2, 1)  Tres puntos singulares.

Punto (–3, 0) 

Los tres puntos están en el mismo intervalo
[–4, 0], donde la función es derivable.

9

Además, f (–4) = f (0) = 9.
• Hay un mínimo relativo en (–3, 0), un máximo relativo en (–2, 1) y un mínimo relativo en (–1, 0).
1
–4 –3 –2 –1

Unidad 7....