07

Sucesiones de n´
umeros reales

De manera similar a como se hizo para sucesiones de n´
umeros racionales, se define una
sucesi´
on de n´
umeros reales como una aplicaci´
on
x : N −→ R
1
x(1) = x1
2
x(2) = x2
3
x(3) = x3
...

Se denotar´
a como x = (x1 , x2 , x3 , . . .) = (xn )n∈N = (xn )n = (xn ). Se designa por
{xn : n ∈ N} al conjunto de valores que toman los t´erminos de la sucesi´
on. Porejemplo, si
(xn ) = ((−1)n ))n entonces el conjunto de valores es {xn : n ∈ N} = {−1, 1}, un conjunto de
dos elementos. Puede haber sucesiones distintas, como (1/n) y (1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, . . .),
con el mismo conjunto de valores. Se suele utilizar la expresi´
on (xn ) ⊂ R para decir
{xn : n ∈ N} ⊂ R.

Matemáticas
de
U
to

Y tambi´en, como se hizo antes para sucesiones de n´
umeros racionales,se definen en este
conjunto S de sucesiones de n´
umeros reales las operaciones siguientes (suma, producto y
producto por escalares)
(xn ) + (yn ) = (xn + yn )
λ(xn ) = (λxn )
(xn ) · (yn ) = (xn · yn )

e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m

d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n

z - Departam
e
che
n
án

Es f´
acil comprobar que (S , +, ·) es un anillo conmutativo. Con la suma y producto por
escalares, S es unespacio vectorial sobre R de dimensi´
on infinita. Es incluso un ´
algebra
conmutativa y unitaria.

∀ε > 0

∃ν ∈ N : n > ν ⇒ |xn − a|< ε.

Es decir, dado ε > 0, en (a − ε, a + ε) est´
an todos los t´erminos xn salvo, a lo sumo, una
cantidad finita de ellos.
En particular, el car´
acter convergente o no de una sucesi´
on no var´ıa si se a˜
naden o eliminan
una cantidad finita de t´erminos, ni si sealtera el orden en una cantidad finita de esos
t´erminos.
Definici´
on. Se dice que (xn ) ⊂ R es de Cauchy si
∀ε > 0

∃ν ∈ N : n, m > ν ⇒ |xn − xm |< ε.

Matemáticas
de
U
to

Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

Definici´
on. Se dice que (xn ) ⊂ R es convergente a a ∈ R, y se escribe a = l´ım (xn ) o
n→∞
tambi´en (xn ) → a, si

Las mismas demostraciones ya vista para sucesiones den´
umeros racionales sirven para
probar resultados an´
alogos con sucesiones de n´
umeros reales:
Revisado el 26/11/2014

Sucesiones y series en R – 1

Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

z - Departam
e
che
n
án

d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n

C´
alculo I

e
rnand
F
a
r
u
o
7. Sucesiones
d
S y series en R
a
m

e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m

Proposici´
on (´
algebra de l´ımites).El producto, cociente* y combinaci´
on lineal de dos
sucesiones convergentes es una sucesi´
on convergentes, y adem´
as
(xn ) → a





(yn ) → b












⇒






(λxn + µyn ) → λa + µb
(xn yn ) → ab
(xn )
a
→
(yn )
b

(*en el cociente se entiende que los denominadores yn y b deben ser todos no nulos.)
Se suele decir que el l´ımite de la suma es la suma de los l´ımites o que ell´ımite del producto es
el producto de los l´ımites, pero conviene insistir en que se parte de sucesiones convergentes:
si (xn ) e (yn ) son convergentes, entonces l´ım(xn + yn ) = l´ım xn + l´ım yn y lo mismo para
el producto, etc´etera.
on lineal de dos sucesiones de Cauchy es una sucesi´
on
Proposici´
on. El producto y combinaci´
de Cauchy.

Matemáticas
de
U
to

L´ımites infinitos. En ladefinici´
on de sucesi´
on convergente (xn ) → a, es decir, del concepto
de l´ımite a = l´ımn→∞ xn , se obliga a que a sea un n´
umero real. Se suele extender este
concepto al caso en que a ya no es un n´
umero, y se habla de l´ımites infinitos. Conviene
ahora adaptar las reglas conocidas sobre sumas y productos de l´ımites.
Definici´
on. Se dice (xn ) → +∞, o tambi´en l´ım (xn ) = +∞, si
n→∞

e
rnandF
a
r
u
o
d
S
a
m
∀M

∃ν ∈ N : n > ν ⇒ xn > M,

es decir, salvo finitos elementos, los t´erminos xn son tan grandes como se quiera.

d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n

∀M

∃ν ∈ N : n > ν ⇒ xn < M.

Se suele hablar de sucesiones divergentes en los casos en que (xn ) → ±∞.

Ejemplos. Ahora, con los l´ımites infinitos, al sumar sucesiones con l´ımites infinitos puede
ocurrir cualquier cosa
• (1, 2, 3,...