07aplicaciones integral

Bloque:
An´
alisis
Matem´
atico
Tema:
Aplicaciones
de la integral
HEDIMA

Herramientas digitales de

Introducci´
on
´
Areas
Una curva
Dos Curvas

auto-aprendizaje para Matem´aticas

Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

HEDIMA, Grupo de Innovaci´
on Did´
actica
Departamento de Matem´
aticas
Universidad de Extremadura

Bloque:
An´
alisis
Matem´
atico
Tema:
Aplicaciones
de la integral
HEDIMAIntroducci´
on

Bloque: An´alisis Matem´atico

´
Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

Tema: Aplicaciones de la integral

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An´
alisis
Matem´
atico
Tema:
Aplicaciones
de la integral
HEDIMA

´Indice

Introducci´
on
´
Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

Introducci´
on
C´
alculo de ´
areas de superficies planas
Longitud de un arcode curva plana
Volumen de un s´
olido de revoluci´
on

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An´
alisis
Matem´
atico
Tema:
Aplicaciones
de la integral
HEDIMA
Introducci´
on
´
Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

Introducci´
on

Introducci´
on
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An´
alisis
Matem´
atico
Tema:
Aplicaciones
de la integral
HEDIMA
Introducci´
on

En muchos fen´
omenos f´ısicos, econ´
omicos, sociales,... el ´area bajo la curva
de una funci´
on representa una magnitud relevante que conviene saber medir.
Por ejemplo, si representamos la velocidad de un m´
ovil en funci´
on del
tiempo, el ´
area bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.

´
Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

En esta lecci´
on usaremos el c´
alculo integral para formalizar conceptos
sencillos eintuitivos como el de ´
area de una regi´
on, volumen de un cuerpo, y
longitud de curvas planas.

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alisis
Matem´
atico
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Aplicaciones
de la integral
HEDIMA
Introducci´
on
´
Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

C´
alculo de ´
areas de superficies
planas

C´
alculo de ´
areas de superficies planas
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An´
alisis
Matem´
atico
Tema:
Aplicaciones
de laintegral
HEDIMA

´
I. Area
determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f (x)
b

Si f (x) ≥ 0, entonces el valor del ´
area es

f (x)dx.
a

Introducci´
on
´
Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

b

Si f (x) ≤ 0, entonces el valor del ´
area es −

f (x)dx.
a

C´
alculo de ´
areas de superficies planas
Bloque:
An´
alisis
Matem´
atico
Tema:
Aplicaciones
de la integralHEDIMA
Introducci´
on
´
Areas

´
I. Area
determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f (x)
Si la funci´
on tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar los
intervalos donde f (x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Por
ejemplo, si f (x) ≥ 0 en [a, c] y f (x) ≤ 0 en [c, b], entonces el valor del
´
area es:

Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

c

b

f (x)dx −
a

f(x)dx.
c

C´
alculo de ´
areas de superficies planas
Bloque:
An´
alisis
Matem´
atico
Tema:
Aplicaciones
de la integral

´
II. Area
determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f (x) e
y = g(x)
Si f (x) ≥ g(x), entonces el valor del ´
area es:

HEDIMA
Introducci´
on

a

´
Areas
Una curva
Dos Curvas

(f (x) − g(x))dx.
b

Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

En otro caso, hay queseparar [a, b] en intervalos y actuar como antes en
cada intervalo.

C´
alculo de ´
areas de superficies planas
Bloque:
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Matem´
atico

´
Ejemplo: Area
del c´ırculo

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de la integral
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Introducci´
on
´
Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revoluci´
on

Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que
el c´ırculo tiene su centro en el origen decoordenadas.
Gracias a la simetr´ıa de la figura, el ´
area
ser´
a igual a cuatro veces el ´
area de la parte del
c´ırculo encerrado en el primer cuadrante.
La curva que define el contorno de un c´ırculo de centro (0, 0) y radio r es
√
x2 + y 2 = r2 , luego y = r2 − x2 y el ´
area ser´
a
r

r

r2

4

−

x2 dx

= 4r

0

0
π
2

= 4r2
0

π
2

cos2 tdt = 4r2
0



 Cambio de variable 
x2
x
= sent
1 − 2 dx...