07Transformaciones

Graficación
IA7200-T
Transformaciones Geométricas

Transformaciones Geométricas
• Producto Matricial
• Transformaciones 
Lineales
• Rotaciones
• Escalamiento
• Acizallamiento
• TranslacionesGraficación

•
•
•
•
•

Coordenadas Homogéneas
Transformaciones Inversas
Rotaciones Arbitrarias
Cambio de Coordenadas
Rotaciones 3D

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Producto Matricial

Graficación

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Transformaciones LinealesUna transformación T es un mapeo
Una transformación es lineal si para todos v y 
w (vectores) y λ (real)

Si T es lineal:

Graficación

4

Transformaciones LinealesEn el espacio x­y, asociemos un punto P al 
vector V, tal que:
T es un mapeo de puntos a puntos:

Para todo punto P en x­y, donde:
v  = OP ′ 
Graficación

5

Transformaciones Lineales
Las TLs pueden ser escritas como un producto de matrices.  Por ejemplo

Se puede escribir como el producto

Graficación

6

Transformaciones Lineales
Ejemplo:

Los renglones de T
son las imágenes de
(1,0) y (0,1)
Graficación

7

RotaciónGraficación

8

Escalamiento

Graficación

9

Acizallamiento

Graficación

10

Translaciones

¿Cuál es la matriz T para translaciones?
T no es lineal (i.e. T(0) = (a,b)≠0)(a,b) se llama vector de desplazamiento
(shift vector)
Graficación

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Coordenadas Homogéneas
Para combinar todas las transfomaciones vistas hasta aquí, 
añadimos una dimensión mas, W.La dimensión extra hace que P=(x,y) tenga toda una familia de 
representaciones coordenadas (wx, wy, w) w≠0.
Por ejemplo, (3,6,1), (0.3,0.6,0.1), (6,12,2), (12,24,4), etc.
Cuando un punto se mapea al plano W=1, se dice que está 
homogeneizado.Conversión: 
(x,y)  (x,y,1)
(wx,wy,w)  (wx/w, wy/w)
Graficación

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Coordenadas Homogéneas

Graficación

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Coordenadas Homogéneas
T en coordenadas homogéneas
Translación

Rotación

Graficación

14Ejercicios
• Dibuje un rectángulo unitario en un espacio R2
• Genere una matriz T1 para una rotación de 15°
• Genere una matriz T2 para un escalamiento de 1.5 en 
x y 2 en y
•...