08_AplicacionesIntegral

80 – Matem´aticas 1 : C´alculo integral en IR

Cap´ıtulo 8

Aplicaciones de la integral
8.1
8.1.1

´
Areas
de superficies planas
Funciones dadas de forma expl´ıcita

A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 7, parece razonable la siguiente definici´
on:
Definici´
on 170.- Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua y positiva, y consideremos la regi´on R del plano
cuyafrontera viene dada por las rectas x = a , x = b, el eje de abcisas y la gr´afica de f (ver figura debajo).
Entonces el ´
area de la regi´
on R est´
a definida por
b

A(R) =

f (x) dx.
a

En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferiores y sumas superiores nos ofrecen aproximaciones por “defecto” y
por “exceso” del ´
area encerrado por la curva y = f (x) , es decir, el
valor de ese´
area est´
a siempre entre el ´
area calculado por defectoo y
el calculado por exceso. Entonces, cuando la funci´on es integrable,
el inferior de las cotas superiores y el superior de las cotas inferiores
coinciden, y como el valor del ´
area indicado por la funci´on est´a entre ambos valores, necesariamente debe conincidir con el valor de la
integral.

y = f (x)

R
a

b

2

Ejemplo Calcular el ´area de la regi´
on limitada por la curva f (x) = x3 + 1 , los ejes coordenados y la recta
x = 3.
Soluci´
on:
La funci´
on es positiva en todo R . En particular, lo es en el dominio de
integraci´
on y, por tanto, el valor del ´
area que buscamos vendr´a dado por
x2
f (x) =

3

+1

3

A(R) =

f (x) dx.
0
1

3

En nuestro caso, como F (x) = x9 + x es una primitiva de f en [0, 3] ,
basta aplicar laregla de Barrow para obtener que
3

A(R) =
0

x2
+ 1 dx =
3

x3
+x
9

R
x=3

3

= (3 + 3) − (0 + 0) = 6,
0

nos ofrece el ´
area del recinto R de la figura.
8.1.1.1

Funciones negativas
Cuando la funci´on f : [a, b] −→ R que limita R , es continua y negativa, es decir, f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b] , el valor de la integral ser´
a

y = −f (x)

b

R

f (x) dx ≤ 0 , por lo que no puede representarel valor del ´area de R

a

b

R
y = f (x)

Prof: Jos´
e Antonio Abia Vian

a

como magnitud de medida positiva. Sin embargo, es claro que el ´
area
de la regi´on R coincide con el ´area de la regi´on R determinada por la
funci´on −f (ver figura a la izquierda), por lo que, teniendo en cuenta
las propiedades de la integral, puede darse la siguiente definici´on.

Grados de Ing. Industrial : Curso2012–2013

´
8.1 Areas
de superficies planas

81 – Matem´aticas 1 : C´alculo integral en IR

Definici´
on 171.- Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua y negativa. Consideremos la regi´on R del plano
cuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b, el eje de abcisas y la gr´afica de f . Entonces el ´area de
la regi´
on R est´
a definida por
b

b

−f (x) dx = −

A(R) =

f (x) dx.
a

aObservaci´
on 172.- Es claro entonces, que para calcular el ´area de regiones planas debe analizarse el signo de
la funci´
on en el intervalo de integraci´
on. De no hacerlo as´ı, la parte negativa de la funci´on “restar´a” el ´
area
que encierra del ´
area encerrado por la parte positiva.
Contraejemplo.- Hallar el ´
area encerrado por la funci´on f (x) = sen x , en el intervalo [0, 2π] .
2π

2π

sen xdx = − cos x

El valor

= (− cos(2π)) − (− cos 0) = 0 , es claro que no representa el ´
area
0

0

encerrada por la curva.
R1
π

2π

R2
Ahora bien, teniendo en cuenta que la funci´
on sen x es positiva en [0, π] y negativa en [π, 2π] , el valor real del
area encerrado ser´
´
a por tanto
π

A(R) = A(R1 ) + A(R2 ) =

2π

π

− sen x dx = − cos x

sen x dx +
0

0

π

Ejemplo Hallar el ´
areadeterminada por la curva f (x) = (x−1)(x−2) ,
las rectas x = 0 , x = 52 y el eje de abcisas.
Como la funci´
on f (x) es menor o igual a cero en [1, 2] y positiva en el
resto, se tendr´
a que
1

A(R) =
0
x3
3

Como G(x) =

−

3x2
2

f (x) dx +
1

8.1.1.2

2

f (x) = (x−1)(x−2)

f (x) dx.
2

+ 2x es una primitiva de f (x) en [0, 25 ] ,

A(R) = G(1) − G(0) − G(2) − G(1) + G
=

= 2 + 2 = 4.
π

5
2

2

f...