08 Cà LCULO DE VOLÚMENES 1

CÁLCULO II
INTEGRAL DEFINIDA:
CÁLCULO DE VOLÚMNES : DISCO Y ARANDELAS O
ANILLO

La no esfericidad de Saturno

Saturno es el menos esférico de los nueve planetas
en nuestro sistema solar. Su radioecuatorial es 60
268 kilómetros y su radio polar es 54 364
kilómetros. El color acentuado en la fotografía de
Saturno se tomó por el Voyager 1. En la fotografía,
la no esfericidad de Saturno esclaramente visible. 
Calcular el volumen del planeta Saturno, si se sabe que la
ecuación de la sección transversal que atraviesa el polo es:

x2
y2

1
2
2
60268
54364

Logros de la sesión:

Al finalizarla sesión, el estudiante resuelve problemas de ingeniería

calculando el volumen de sólidos de revolución a través de los métodos del
disco y de las arandelas.

Temario
1. Método del disco
1.1definición
1.2 ejemplos
2.

Método del anillo
2.1 definición
2.2 ejemplos

Volúmenes
1) Método Del Disco
Sea f una función continua en [a, b] y sea R la región acotada por la gráfica de f,
el eje x y lasrectas verticales x = a, x = b. El volumen del sólido de revolución
generado al girar la región R alrededor del eje x está dado por:

b

2

v   f ( x)dx
a

Ejemplo 01
Hallar el volumen del sólidogenerado al rotar alrededor del eje x la región
acotada por y = x2 y las rectas x = 0 , x = 1
Solución
Gráficamente se tiene:

Aplicando nuestra fórmula se tiene:

5 1

x
V   f ( x)dx  ( x ) dx
a
a
5
b

2

b

2 2

0

 3
 u
5

Ejemplo 02
Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región
acotada por y =- x2 -2x+3 ; y = 0
Solución

2) Método del Anillo o de lasArandelas
Sean f y g dos funciones continuas en [a,b] y sea R una región acotada por las
gráficas de las funciones f y g, el eje x y las rectas x= a , x=b. El volumen del
sólido de revolución generado algirar la región R alrededor del eje x está dado
por:

b

2

2

V  [ f ( x)  g ( x)] dx
a

Ejemplo 02
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje x,
la...