08 Matematica

MATEMÁTICA

SEMANA 8

FUNCIONES PARTE III

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ÍNDICE
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................... 4
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4
FUNCIÓN INYECTIVA........................................................................................................................... 5
FUNCIÓN SOBREYECTIVA .................................................................................................................... 9
FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA ........................................................................................ 11
ÁLGEBRA DE FUNCIONES.................................................................................................................. 15
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ......................................................................................................... 17
COMENTARIO FINAL.......................................................................................................................... 21
REFERENCIAS..................................................................................................................................... 22

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FUNCIONES (PARTE III)
OBJETIVOS ESPECÍFICOS


Aplicar el álgebra de funciones para operarlas.



Determinar la función compuesta entre dos funciones.



Reconocer las condiciones que permiten definir la función inversa.

INTRODUCCIÓN
Las funciones son expresiones talesque al evaluar un número del dominio se obtiene un número
real, luego algunas de las operaciones estudiadas en el conjunto de los números reales se pueden
definir también en las funciones es así que se definirán: la suma, el producto y la división de
funciones. Por otro lado, se estudiará la composición de funciones, la cual de algún modo significa
operar sobre un resultado ya existente.
Seobservará en la presente semana que bajo ciertas condiciones se puede invertir el proceso de la
función definida, con esto se obtendrá la función inversa.

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FUNCIÓN INYECTIVA
Una función f : X  Y es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones
equivalentes:



x1 , x2  X : f x1   f x2   x1  x2 o lo que es lo mismo, f x1   x2  siempreque

x1  x2 (Stewart, 1999, p. 65).
En matemáticas, una función f : X  Y es inyectiva o uno es a uno si cada valor en la imagen de

f le corresponde un único elemento en el dominio. Es decir una imagen no debe estar relacionada
con más de un elemento del dominio.
Por ejemplo, la función de números reales f : R  R , dada por f ( x)  x 2 no es inyectiva, ya
que, por ejemplo, la imagen 9 estárelacionada con el 3 y el -3, es decir

f 3  32  9 y

f  3  (3) 2  9 .

Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función

g : R   R  se tiene una función inyectiva.
Ejemplo de función inyectiva:
1)

2) f ( x)  2 x  3

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Ejemplo de función no inyectiva:
1)

2) f ( x)  x 2  4

Para observar gráficamente siuna función es inyectiva se debe graficar la función, luego se grafica
una recta horizontal sobre la gráfica de la función y si esta corta en más de un punto, entonces, no
es inyectiva.

Ejercicios:
1) Determine si la siguiente función es inyectiva:

Solución:
Se grafica una recta horizontal sobre el gráfico de la función:

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Luego, según la definición, se...