091c 1 Mecanica

Repaso matemático

1 - Hallar el módulo del vector de origen en (20, -5, 8) y extremo en (-4, -3, 2).

2 - a) Hallar las componentes cartesianas de los siguientes vectores:

b) Hallar el módulo y dirección de los siguientes vectores y representarlos gráficamente:
i) = (3, 3); ii) = (-1.25, -2.16); iii) = (-2.5, 4.33); iv) = (5,0) y v)= (0,3)

3 – Analice las propiedades delos vectores y que satisfacen las siguientes relaciones:
a) y
b)
c) y

4 - Usando la definición de producto escalar, calcular
a) b) c)
d) e) f)
donde = (1,0,0), = (0,1,0), = (0,0,1).

5 - Haciendo uso de la propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma, es decir, y de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, demostrar que si:
= ax + ay+ az y = bx + by + bz entonces: = axbx + ayby + azbz

6 - a) Utilizando el teorema de Pitágoras y la definición de las funciones trigonométricas, demostrar en el triángulo de la figura el “Teorema del Coseno”:
AC2 = AB2 + BC2 – 2AB BC cos ,
donde AB, BC y AC son las longitudes de los respectivos lados.
AYUDA: Considerar los triángulos rectángulos ABD yADC.
b) Utilizando la definición del seno demostrar sobre los mismos triángulos que:
AC/sen  = AB/sen ,
y generalizar el resultado para demostrar el “Teorema del Seno”:
AC/sen  = AB/sen  = BC/ sen .

7 - a) Sean , y los versores de la terna mostrada en la figura (a). Usando la definición de producto vectorial, calcular
(i) (ii) (iii)
(iv) (v) (vi)b) Repetir el cálculo anterior para la terna de la figura (b) y comparar con los resultados obtenidos en ambos casos.
NOTA: En lo sucesivo se convendrá en trabajar con ternas derechas (caso (a)), en las cuales x=.

8 - Hallar la expresión de los vectores posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares y cilíndricas.
Representar gráficamente.

CINEMÁTICA

1 - Un móvil que seencuentra en un punto A en un cierto instante t0, viaja con velocidad constante. Cuando transcurre un tiempo t = 10 s el móvil pasa por un punto B que está a distancia d = 10 km de A.
a) Halle v, en unidades MKS, en cgs y en km/h
b) Dé las expresiones para la posición en función del tiempo (con origen de tiempos en t0 = 0 s) con los siguientes sistemas de coordenadas:
i) eje x contiene a A y a B ytiene origen en A;
ii) ídem i) pero con origen en B;
iii) AB forma 30° con el eje x (¿significa esto que el movimiento representado no es unidimensional?). Grafíquelas.
c) Ídem b) considerando un origen de tiempos en t = t0 > 0

2 - Un automóvil viaja en línea recta con velocidad constante desde A hasta C, pasando por B. Se sabe que por A pasa a las 12 hs, por B a las 13 hs y por C a las 15 hs (AB= 50 km, BC = desconocido).
a) Elija un origen de tiempo y un sistema de referencia.
b) Elija un instante t0. ¿Cuánto vale x0? Escriba la ecuación de movimiento.
c) Elija otro instante t′0. ¿Cuánto vale x′0? Escriba la ecuación de movimiento.
d) Calcule la velocidad del auto y la distancia BC.

3 – a) Un ciclista recorre la mitad de su trayecto a velocidad constante de 40 km/h y la otra mitad a60 km/h Calcule la velocidad media del ciclista.
b) Un ciclista pedalea la mitad del tiempo imprimiéndole a la bicicleta una velocidad constante de 30 km/h y la otra mitad le imprime una velocidad también constante de 20 km/h. Calcule la velocidad media del ciclista.

4 - Un móvil (1) viaja en línea recta desde A hacia B (distancia AB = 300 km) a 80 km/h y otro móvil (2) lo hace desde B hacia Aa 50 km/h. El móvil 2 parte 1 h antes que el móvil 1.
a) Elija un origen de tiempo y un sistema de referencia.
b) Escriba los vectores velocidad y de los móviles 1 y 2, respectivamente.
c) En un mismo gráfico represente posición vs. tiempo para ambos móviles. Interprete el significado del punto de intersección de ambas curvas.
d) En un mismo gráfico represente velocidad vs. tiempo para ambos...