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Facultat de Matemàtiques i Estadística
Universitat Politècnica de Catalunya
Lección inaugural del curso 2003-2004
22 de setiembre de 2003

La ecuación del calor
Professor Luis Caffarelli
Departament of Mathematics
University of Texas at Austin

Fourier
La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807―en su memoria
sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos.
En ella proponíaademás el germen de lo que pasaría a ser la Teoría de las
Series de Fourier.
Tan controvertida fue esta última, que tomó quince años, hasta 1822, para
que la Academia de Ciencias decidiese publicarla.

Modelos matemáticos
La ecuación del calor es un modelo matemático (quizás el más sencillo)
que trata de describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido.
Consideremos, para simplificar lapresentación, una barra metálica aislada
de longitud uno ( 0 ≤ x ≤ 1 ), inicialmente a temperatura cero, que después
de un cierto tiempo, t0 , hemos calentado a una temperatura T ( x, t0 ) manteniendo sus extremos, x = 0 y x = 1 , a temperatura cero.
A partir de ese instante, t0 , dejamos que la temperatura T ( x, t0 ) evolucione
libremente y estamos interesados en un modelo matemático que nospermita predecir la temperatura T ( x, t ) para todo x en el intervalo [0,1], en todo
tiempo futuro (es decir, para todo t > t0 ), a partir de nuestro conocimiento
de T ( x, t0 ) = T0 ( x) y del hecho que para x = 0 o x = 1 la temperatura
permanece igual a cero.

Naturalmente no hay un “único modelo”. Hay infinitos, dependiendo de la
precisión y el rango de valores en que pretendemos sea válido (altaso bajas
temperaturas cambiarán el comportamiento del material, impurezas podrían
ser relevantes, etc.).
El modelo propuesto por Fourier puede sintetizarse así:
1. La energía (calórica) necesaria para llevar un trozo de la barra de
longitud ∆A de temperatura cero a temperatura T es proporcional a
∆A × T (i.e., la densidad de energía, e = kT , es proporcional a la
temperatura, con k una constantecaracterística del material).
2. La energía fluye de las zonas de mayor temperatura a las de menor
temperatura. Más precisamente, la densidad de flujo de energía es

f ( x) = −θ DxT
G
(o f ( x) = −θ ∇T en varias dimensiones), nuevamente θ es una
constante característica del material.
3. La energía se conserva. Si tomamos un trozo de barra, ∆A , la energía
contenida en ∆A en el instante t2 es igual ala energía que había en
∆A en el instante t1 más el “flujo de energía” que penetró en los ex
tremos x1 , x2 en el intervalo de tiempo de t1 a t2 . Matemáticamente:
t2

∫ ( e( x, t2 ) − e( x, t1 ) ) dx = ∫t ( − f ( x2 , t ) + f ( x1 , t ) ) dt
1

∆A

Si dibujamos el rectángulo ∆A × ∆t ,

∆t

∆A
la primera integral ocurre en los bordes superior e inferior, mientras
que la segunda ocurre en loslaterales. Para poder compararlas, necesitamos poder escribirlas en un dominio común, el rectángulo. Lo logramos tomando derivadas:

∫

Dt e( x, t ) dx dt =

∆A×∆t

∫

− Dx f ( x, t ) dx dt

∆A×∆t

Como esta relación se debe verificar para cualquier rectángulo, no
importa cuan pequeño, necesariamente los integrandos deben ser
iguales:
Dt e + Dx f = 0 .
Recordando las expresiones de e y f en funciónde T, obtenemos la
ecuación

kDt T = θ DxxT

En términos actuales las relaciones 1) y 2) se denominan leyes constitutivas, y establecen relaciones puntuales entre las variables de estado, e, f, T y
sus derivadas, que dependen de las carácterísticas del material, etc. La relación 3), en cambio, es de índole diversa, es una ley de conservación, y establece que ciertas cantidades (masa, energía, etc.)se conservan a través de
un proceso. Eso no quiere decir que sean puntualmente constantes. En un
gas, por ejemplo, la masa fluye de una parte a otra. Lo que una ley de conservación hace es postular la existencia de una variable conservada, e, y un
G
flujo, f , que satisfacen
Dt e + Dx f = 0 .

G
(o Dt e + div f = 0 ).

En definitiva, escribir un modelo matemático consiste en elegir aquellas...