1.1.Algebra de funciones y Limite de una función

MATEMÁTICAS II


1.1. Algebra de Funciones y Límite de una función

1. Función

Es de recordar el concepto de función, ya abordado en Matemáticas I. La función es un modelo matemático que enuncia una regla, una correspondencia o una condición entre los elementos de dos o más conjuntos.

En términos más formales, una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto Aexactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. Por lo común, se consideran funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales. El conjunto A se denomina Dominio de la función. El numero f(x) es el valor que toma f cuando se evalúa en x y se lee “f de x”. El conjunto de las imágenes o valores que toma f, conforme x varía en todo el dominio A, se denomina Rango dela función.

Igualmente, a x se le denomina variable independiente, ya que representa un número arbitrario en el domino de una función. A y = f(x) se le denomina variable dependiente, ya que representa el valor de la función para un x del domino, según la función.


1.1. Representación de funciones

Las funciones se representan mediante Diagramas de flechas (Ven-Euler), pararepresentaciones más bien abstractas de una función.


Tomado de:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Aplicaci%C3%B3n_2.svg/250px-Aplicaci%C3%B3n_2.svg.png
Junio 25 de 2010.

Igualmente, se pueden representar mediante un plano cartesiano utilizando las parejas ordenadas (x, f(x)) que proporcional la función.


Tomado de:http://4.bp.blogspot.com/_bMf3tpaigNg/SftMHMIiBII/AAAAAAAAAKc/PSR4ES7nm6s/s400/DOMINIO+Y+RANGO.bmp. Junio 25 de 2010

La grafica de una función permite reconocer el comportamiento de la misma. El dominio se puede establecer sobre el eje x, al igual que el rango, sobre el eje y. Así por ejemplo, en la gráfica anterior, el dominio corresponde a un subconjunto de los Reales, al igual que el rango




1.2. Notación de una función


Para notarfunciones definidas entre conjuntos de números reales, se utiliza:

Se nota como una función en una variable real , donde R es el conjunto de los números reales. También se puede notar la función como:

En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente terminología.

Función real: Función del tipo
Campo escalar: Función deltipo
Función vectorial: Función del tipo
Campo vectorial: Función del tipo


Ejemplos
1. Sea f la función con dominio Re, tal que para todo x en Re. Encuentre , donde a y b son números reales, determine el rango de la función.

Solución
Para este caso



Por definición, el rango de f esta dado por todos los números de la forma para . Así, el rango serán los realespositivos, ya que el cuadrado de todo real x es positivo, es decir,


2. Sea . Determinar el dominio y hallar .

Solución
Para este caso es un número real si y sólo si el radicando , es positivo y el denominador , es diferente de cero, por lo tanto, se tiene:



De otro lado, la ecuación , se resuelve para , que es el valor que hace indeterminado el denominador de la función. Luego:el dominio, se resuelve para los valores comunes de x que validan las anteriores soluciones, así:

También,

De otro lado:




3. Sea , Calcular el dominio y rango de la función.
Solución
La gráfica de la función de f es el la grafica de la ecuación , lo cual se puede evaluar si el radicando es positivo, es decir, , que es una desigualdad cuadrática cuya solución es ,por lo tanto,


Al igual, el rango de la función serán los valores de , para los que y sea la raíz positiva del radical, así, el rango es , como lo ilustra la grafica.


4. Calcular el dominio de las siguientes funciones.
a. b.
Solución
a. La función no está definida cuando el denominador es 0. Puesto que

Se puede observar que no está definida cuando .
Luego el...