1 3 Calculo VAlor Exacto Modelo Polinomial 2 1
Páginas: 6 (1436 palabras)
Publicado: 17 de marzo de 2015
Unidad I. La Problemática
Tema 1.3 Cálculo del valor exacto del cambio acumulado. Modelo Polinomial
Situación Problema 1.3: En un tanque vacío se introduce agua de tal modo que la razón de cambio del volumen de agua con respecto al tiempo se comporta de acuerdo a la función r(t) = 2t litros/min (la razón de cambio es proporcional al tiempo). En esta situación, el cambio acumuladodel volumen en cada intervalo del tipo [0,1], [0,2], [0,3] y en general [0, t], coincide con el valor del volumen v a los 1, 2, 3, y en general, t minutos.
a) Utiliza una hoja de cálculo para aproximar el valor del volumen que se registra en el tanque a medida que pasa el tiempo en los primeros 10 minutos y considerando intervalos de tiempo ∆t = 1 minuto. El valor de la razón de cambio quemantendrás constante se elige en el extremo izquierdo de cada intervalo. Muestra los valores en la siguiente tabla:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 1
Aproximación
V(t)
0
0
2
6
12
20
30
42
56
72
90
t
r(t) = 2t
r(t)*∆ t
V(t)
∆t = 1
0
0
0
0
1
2
2
0
2
4
4
2
3
6
6
6
4
8
8
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5
10
10
20
6
12
12
30
7
14
14
42
8
16
16
56
9
18
18
72
10
20
20
90
b) Mejora los cálculos del archivo quehemos generado utilizando en intervalo de tiempo ∆t = 0.1 minuto. De este modo, los valores del volumen en los tiempos señalados en la tabla, son el resultado dse acumular el cambio del volumen calculado en 10 subintervalos más pequeños comprendidos entre el 0 y el 1, el 1 y 2, el 2 y 3 y así sucesivamente. Registra los valores en la siguiente tabla:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 0.1Aproximación
V(t)
0
0.9
3.8
8.7
15.6
24.5
35.4
48.3
63.2
80.1
99
t
r(t)=2t
r(t)*∆ t
V(t)
∆ t = 0.1
0
0
0
0
0.1
0.2
0.02
0
0.2
0.4
0.04
0.02
.
.
0.9
1.8
0.18
0.72
1
2
0.2
0.9
1.1
2.2
0.22
1.1
..
2.9
5.8
0.58
8.12
3
6
0.6
8.7
3.1
6.2
0.62
9.3
.
8.9
17.8
1.78
78.32
9
18
1.8
80.1
9.1
18.2
1.82
81.9
.
9.819.6
1.96
95.06
9.9
19.8
1.98
97.02
10
20
2
99.0
c) Realiza una última mejora en la hoja de cálculo utilizando un intervalo de tiempo ∆t = 0.01 y registra los valores en la siguiente tabla:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 0.01
Aproximación
V(t)
0
0.99
3.98
15.96
15.96
24.95
35.94
48.93
63.92
80.9
99.9
d) Utiliza ahora la hoja de cálculo para que canceles los decimales detal modo que obtengas los valores redondeados a enteros, simulando con ellos un proceso de aproximación cada vez mejor, a un grado tal que la tendencia de los valores sea el estabilizarse en esos enteros. Registra los valores en la tabla de abajo y obsrva su relación con el correspondiente t, tratando de identificar un patrón de comportamiento entre los valores de t y los de v(t).
t
0
12
3
4
5
6
7
8
9
10
Aproximación
V(t)
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
e) La función V(t) que hemos reconocido representa la posibilidad de un proceso de mejora llevado a sus últimas consecuencias, de tal modo que puede compactarse en una expresión algebraica.
f) Supongamos que en tanque inicialmente hay 25 litros de agua y que aparte de la llave que aumenta el volumen a razón de r(t)=2t una segunda llave esta introduciendo agua también, pero a razón constante de 3 litros por minuto. ¿Cuál seria la función que modela el comportamiento del volumen de agua en el tanque a los t minutos?
1.3 Problema Complementario
Tema 1.3 Cálculo del valor exacto del cambio acumulado. Modelo Polinomial.
a) Genera una hoja de cálculo en la que desarrolles el procedimiento númerico...
Unidad I. La Problemática
Tema 1.3 Cálculo del valor exacto del cambio acumulado. Modelo Polinomial
Situación Problema 1.3: En un tanque vacío se introduce agua de tal modo que la razón de cambio del volumen de agua con respecto al tiempo se comporta de acuerdo a la función r(t) = 2t litros/min (la razón de cambio es proporcional al tiempo). En esta situación, el cambio acumuladodel volumen en cada intervalo del tipo [0,1], [0,2], [0,3] y en general [0, t], coincide con el valor del volumen v a los 1, 2, 3, y en general, t minutos.
a) Utiliza una hoja de cálculo para aproximar el valor del volumen que se registra en el tanque a medida que pasa el tiempo en los primeros 10 minutos y considerando intervalos de tiempo ∆t = 1 minuto. El valor de la razón de cambio quemantendrás constante se elige en el extremo izquierdo de cada intervalo. Muestra los valores en la siguiente tabla:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 1
Aproximación
V(t)
0
0
2
6
12
20
30
42
56
72
90
t
r(t) = 2t
r(t)*∆ t
V(t)
∆t = 1
0
0
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1
2
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4
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6
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10
20
6
12
12
30
7
14
14
42
8
16
16
56
9
18
18
72
10
20
20
90
b) Mejora los cálculos del archivo quehemos generado utilizando en intervalo de tiempo ∆t = 0.1 minuto. De este modo, los valores del volumen en los tiempos señalados en la tabla, son el resultado dse acumular el cambio del volumen calculado en 10 subintervalos más pequeños comprendidos entre el 0 y el 1, el 1 y 2, el 2 y 3 y así sucesivamente. Registra los valores en la siguiente tabla:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 0.1Aproximación
V(t)
0
0.9
3.8
8.7
15.6
24.5
35.4
48.3
63.2
80.1
99
t
r(t)=2t
r(t)*∆ t
V(t)
∆ t = 0.1
0
0
0
0
0.1
0.2
0.02
0
0.2
0.4
0.04
0.02
.
.
0.9
1.8
0.18
0.72
1
2
0.2
0.9
1.1
2.2
0.22
1.1
..
2.9
5.8
0.58
8.12
3
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0.6
8.7
3.1
6.2
0.62
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.
8.9
17.8
1.78
78.32
9
18
1.8
80.1
9.1
18.2
1.82
81.9
.
9.819.6
1.96
95.06
9.9
19.8
1.98
97.02
10
20
2
99.0
c) Realiza una última mejora en la hoja de cálculo utilizando un intervalo de tiempo ∆t = 0.01 y registra los valores en la siguiente tabla:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 0.01
Aproximación
V(t)
0
0.99
3.98
15.96
15.96
24.95
35.94
48.93
63.92
80.9
99.9
d) Utiliza ahora la hoja de cálculo para que canceles los decimales detal modo que obtengas los valores redondeados a enteros, simulando con ellos un proceso de aproximación cada vez mejor, a un grado tal que la tendencia de los valores sea el estabilizarse en esos enteros. Registra los valores en la tabla de abajo y obsrva su relación con el correspondiente t, tratando de identificar un patrón de comportamiento entre los valores de t y los de v(t).
t
0
12
3
4
5
6
7
8
9
10
Aproximación
V(t)
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
e) La función V(t) que hemos reconocido representa la posibilidad de un proceso de mejora llevado a sus últimas consecuencias, de tal modo que puede compactarse en una expresión algebraica.
f) Supongamos que en tanque inicialmente hay 25 litros de agua y que aparte de la llave que aumenta el volumen a razón de r(t)=2t una segunda llave esta introduciendo agua también, pero a razón constante de 3 litros por minuto. ¿Cuál seria la función que modela el comportamiento del volumen de agua en el tanque a los t minutos?
1.3 Problema Complementario
Tema 1.3 Cálculo del valor exacto del cambio acumulado. Modelo Polinomial.
a) Genera una hoja de cálculo en la que desarrolles el procedimiento númerico...
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