1 An Lisis Vectorial

Objetivo.- Revisión breve del análisis vectorial básico
necesario para el estudio de la electricidad y el magnetismo.
Definiciones.
1) Escalares
2) Vectores
1 Escalar.- Es una cantidad que está caracterizada completamente por su magnitud
Ejemplos. Masa, tiempo, volumen, etc.
2 Vector.- Es una cantidad que está caracterizada completamente por su magnitud y dirección
Ejemplos. Posición a partirde un origen fijo, la velocidad, la
aceleración, la fuerza, etc.

La definición clásica de vectores define a un vector como
aquella cantidad en la que cumple con las siguientes
características:
a). Tiene magnitud

b). Dirección. Indicado el ángulo con respecto a un eje (por
ejemplo, la horizontal)

c). Sentido. Indicado por la dirección de la flecha.

Llamar PHEThttp://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_es.html

Notación con vectores
Las siguientes notaciones son las mas típicas para
representar a los vectores:

Se emplearán indistintamente
las notaciones
A=A
Az
y

Ax
|A| = |A|

Ay

Vector unitario
Se dice que un Vector es Unitario cuando su Módulo
(norma) es igual a 1 ó a la unidad y se denota como:

|û|= 1
Un Vector Unitario tiene la misma Dirección y Sentidoque
otro vector que se encuentre el Plano ó en el Espacio

A

û
En donde:

Â

Se puede escoger una base (i.e. cualquier vector
puede escribirse en como combinación lineal de ellos
y que dichos vectores son ortonormales entre sí)

Ejemplos:
A = 5î- 4ĵ+ 7k
B = 3/7 î - 8ĵ + 5/8 k

Magnitud de un vector
Sea

Su magnitud es
|A|² = Ax² + Ay² + Az²
(Ejercicios a pizarrón)

Dirección de un vector
Sean, ,  los ángulos que forma el vector
con los ejes positivos x, y, z
respectivamente.
Estos son los ángulos directores del vector A.
Esto es,

A
Ay = |A|sen


Ax = |A|cos

cos = Ax
|A|

Dirección de un vector
Sean , ,  los ángulos que forma el vector
con los ejes positivos x, y, z
respectivamente.
Estos son los ángulos directores del vector A.
En general:
cos  =

Ax
Ax² + Ay² + Az²

; cos =

Ay
; cos  =
Az
Ax² + Ay² + Az²
Ax² + Ay² + Az²

z
Az



A



Ay
Ax
x

y

Operaciones básicas entre vectores
La suma de vectores
Sean los vectores

y

la suma se define como

La resta de vectores
La resta de vectores se define en términos del negativo de un
vector cuyas componentes son los negativos de las
componentes correspondientes al vector original
Si
entonces

(-A)x = - Ax

(-A)y= - Ay

(-A)z = - Az

Sean

entonces
-

+(-

)

Propiedades de la suma (y resta) de vectores:
1) Conmutatividad
2) Asociatividad

1) Conmutativa
Sean

entonces
A+B=B+A
(comprobación a pizarrón)

2) Asociativa
Sean

C= Cx î+ Cy ĵ+ Cz k
entonces

(A + B) + C = A + (B + C)
(comprobación a pizarrón)

Tres tipos de productores entre vectores y escalares
1. Producto de un escalar por un vector
2.Producto Escalar, interno o punto
3. Producto cruz o exterior

1. Producto de vectores por escalares
Cuando un vector es multiplicado por una cantidad
escalar lo que se modifica es la magnitud del vector,
haciéndolo más grande o mas pequeño.
Por ejemplo, si este es el vector A:

dos veces el vector, 2A tendríamos:

Por el contrario, si multiplicamos por un escalar r<1,
donde r es el escalar,tendríamos un vector mas
pequeño, por ejemplo si multiplicamos por r = 1/2

Características
Sea k un escalar y A un vector, entonces
1.- El vector kA Tiene la misma dirección que A.
2.- Su sentido coincide con el de A, si k es un número
positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.
3.- El módulo es k veces la longitud que representa el
módulo de A. ( Si k = 0 el resultado es el vectornulo).

Propiedades
El producto de un vector por un escalar cumple las
siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: k A = A k
2.- Distributiva: k (A + B) = (k A ) + (k B)
3.- Elemento Neutro: 1 · A = A
4.- Elemento Simétrico: -1 · A = - A

2. El producto escalar, interno o producto punto

es

donde para este producto hay que considerar la
siguiente convención

Esto es,

A · B = AxBx + AyBy + AzBz...