1 BORRADOR CAP TULO II L MITES Y DERIVADAS
Páginas: 18 (4268 palabras)
Publicado: 1 de julio de 2015
MATEMÁTICA II
Alessi, Alejandro – Sdrigotti, Ariel
CAPÍTULO II: LÍMITES Y DERIVADAS
En un ejercicio de la práctica del capítulo anterior se pide analizar la función que describe el costo
semanal de x metros de caños ( )
.
En la misma puede apreciarse que, si en determinada semana no se fabrica nada, el costo será $3000 y
por cada metro que se fabrique el costo se incrementa cuatro veces lacantidad de metros elaborados y 0,7
veces el cuadrado de dicha cantidad. La función acepta cualquier valor positivo en su dominio debido a
que la longitud es una cantidad continua, es decir es posible fabricar la cantidad de metros de caños que
se desee, incluyendo valores numéricos enteros, racionales e irracionales. Las imágenes posibles son
todos los números reales mayores a $3000, cabe aclararque los números racionales con más de dos cifras
decimales no poseen demasiado sentido.
Vamos a analizar cómo cambia el costo semanal por unidad:
metros
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Costo
3004,7
3010,8
3018,3
3027,2
3037,5
3049,2
3062,3
3076,8
3092,7
C(x+1) - C(x)
6,1
7,5
8,9
10,3
11,7
13,1
14,5
15,9
20
MATEMÁTICA II
Alessi, Alejandro – Sdrigotti, Ariel
10
11
12
13
14
15
16
3110
3128,7
3148,8
3170,33193,2
3217,5
3243,2
17,3
18,7
20,1
21,5
22,9
24,3
25,7
Apreciamos en la tercera columna que por cada metro el incremento en el costo aumenta de una forma
no proporcional, es decir notamos que no es constante el aumento en el costo por variaciones constantes
de metros fabricados. Por este motivo vamos a tratar de conocer cómo es el cambio en el costo semanal
por cada unidad adicional producida:(
)
( )
[
(
)
(
(
) ]
)
(
)
Hemos obtenido una expresión que permite averiguar el incremento en el costo que ocurre cuando de
fabricar x metros pasamos a fabricar x + 1. Por ejemplo si en lugar de fabricar 20 metros, se producen 21
metros, entonces el costo se incrementará 1,4 veces 20, más 4,7 (1,4x + 4,7 = 32,7).
Este resultado puede generalizarse pues en ocasiones interesa conocer elincremento ocurrido en el
costo originado por una pequeña variación en los metros fabricados , es decir:
( )
(
)
( )
(
Si
)
( )
[
(
)
(
(
) ]
(
)
)
tenemos el resultado anterior.
Una expresión de gran interés es la siguiente:
( )
La misma informa sobre el cambio promedio de la función costo en el intervalo
veamos esto gráficamente:
analizado,
21
MATEMÁTICA II
Alessi, Alejandro –Sdrigotti, Ariel
Aquí podemos apreciar que
congruente con la longitud de
es congruente con la longitud del segmento
, luego
( )
es la pendiente del segmento
y
( ) es
.
22
MATEMÁTICA II
Alessi, Alejandro – Sdrigotti, Ariel
Analíticamente se calcula de la siguiente manera:
( )
(
)
( )
[
(
)
(
(
) ]
(
)
)
(
)
Una herramienta muy útil para el análisis de funciones es pensarqué ocurre cuando los valores de
son muy pequeños de forma tal que
se aproxima a cero, esto se indica de la siguiente manera
Para ello será necesario profundizar sobre un concepto nuevo:
.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Supongamos que la fábrica estima que la función ingreso semanal que describe el importe percibido
semanalmente por la venta de x metros de caños es la siguiente: I( )
, en lamisma el
ingreso por vender x metros de caño es igual a $60 cada metro, menos $4500 de gastos fijos por sueldos
de vendedores y repartidores.
Para decidir si es necesario efectuar modificaciones en el proceso de elaboración o en la metodología
de venta puede usarse una nueva función que compara las dos anteriores de esta manera:
( )
Es decir, una función que exprese cuántas veces mayor o menor es elcosto comparado con el ingreso.
Puede apreciarse que esta función posee como dominio el conjunto de los números reales positivos
(no puede ser negativo porque son metros de caños que se fabrican y venden), permite el cero pero no
admite el valor
, ya que no es posible que el denominador de esta función racional sea cero.
( ) { ⁄
}. Esto trae un inconveniente: si bien es posible
Por lo tanto...
Alessi, Alejandro – Sdrigotti, Ariel
CAPÍTULO II: LÍMITES Y DERIVADAS
En un ejercicio de la práctica del capítulo anterior se pide analizar la función que describe el costo
semanal de x metros de caños ( )
.
En la misma puede apreciarse que, si en determinada semana no se fabrica nada, el costo será $3000 y
por cada metro que se fabrique el costo se incrementa cuatro veces lacantidad de metros elaborados y 0,7
veces el cuadrado de dicha cantidad. La función acepta cualquier valor positivo en su dominio debido a
que la longitud es una cantidad continua, es decir es posible fabricar la cantidad de metros de caños que
se desee, incluyendo valores numéricos enteros, racionales e irracionales. Las imágenes posibles son
todos los números reales mayores a $3000, cabe aclararque los números racionales con más de dos cifras
decimales no poseen demasiado sentido.
Vamos a analizar cómo cambia el costo semanal por unidad:
metros
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Costo
3004,7
3010,8
3018,3
3027,2
3037,5
3049,2
3062,3
3076,8
3092,7
C(x+1) - C(x)
6,1
7,5
8,9
10,3
11,7
13,1
14,5
15,9
20
MATEMÁTICA II
Alessi, Alejandro – Sdrigotti, Ariel
10
11
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15
16
3110
3128,7
3148,8
3170,33193,2
3217,5
3243,2
17,3
18,7
20,1
21,5
22,9
24,3
25,7
Apreciamos en la tercera columna que por cada metro el incremento en el costo aumenta de una forma
no proporcional, es decir notamos que no es constante el aumento en el costo por variaciones constantes
de metros fabricados. Por este motivo vamos a tratar de conocer cómo es el cambio en el costo semanal
por cada unidad adicional producida:(
)
( )
[
(
)
(
(
) ]
)
(
)
Hemos obtenido una expresión que permite averiguar el incremento en el costo que ocurre cuando de
fabricar x metros pasamos a fabricar x + 1. Por ejemplo si en lugar de fabricar 20 metros, se producen 21
metros, entonces el costo se incrementará 1,4 veces 20, más 4,7 (1,4x + 4,7 = 32,7).
Este resultado puede generalizarse pues en ocasiones interesa conocer elincremento ocurrido en el
costo originado por una pequeña variación en los metros fabricados , es decir:
( )
(
)
( )
(
Si
)
( )
[
(
)
(
(
) ]
(
)
)
tenemos el resultado anterior.
Una expresión de gran interés es la siguiente:
( )
La misma informa sobre el cambio promedio de la función costo en el intervalo
veamos esto gráficamente:
analizado,
21
MATEMÁTICA II
Alessi, Alejandro –Sdrigotti, Ariel
Aquí podemos apreciar que
congruente con la longitud de
es congruente con la longitud del segmento
, luego
( )
es la pendiente del segmento
y
( ) es
.
22
MATEMÁTICA II
Alessi, Alejandro – Sdrigotti, Ariel
Analíticamente se calcula de la siguiente manera:
( )
(
)
( )
[
(
)
(
(
) ]
(
)
)
(
)
Una herramienta muy útil para el análisis de funciones es pensarqué ocurre cuando los valores de
son muy pequeños de forma tal que
se aproxima a cero, esto se indica de la siguiente manera
Para ello será necesario profundizar sobre un concepto nuevo:
.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Supongamos que la fábrica estima que la función ingreso semanal que describe el importe percibido
semanalmente por la venta de x metros de caños es la siguiente: I( )
, en lamisma el
ingreso por vender x metros de caño es igual a $60 cada metro, menos $4500 de gastos fijos por sueldos
de vendedores y repartidores.
Para decidir si es necesario efectuar modificaciones en el proceso de elaboración o en la metodología
de venta puede usarse una nueva función que compara las dos anteriores de esta manera:
( )
Es decir, una función que exprese cuántas veces mayor o menor es elcosto comparado con el ingreso.
Puede apreciarse que esta función posee como dominio el conjunto de los números reales positivos
(no puede ser negativo porque son metros de caños que se fabrican y venden), permite el cero pero no
admite el valor
, ya que no es posible que el denominador de esta función racional sea cero.
( ) { ⁄
}. Esto trae un inconveniente: si bien es posible
Por lo tanto...
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