1 Combinatoria

1.Combinatoria
El arte de contar
“La combinatoria trata, ante
todo, de contar el número de
maneras en que unos objetos
dados pueden organizarse de
una determinada forma.”
Introducción a la combinatoria
Ian Anderson

“La tercera prioridad de la
campaña es dar la primera
prioridad a la enseñanza.”
Web oficial de George W. Bush

1

Contar no es tan sencillo...
Antología de gazapos
radiofónicos«Acuda a nosotros y le
prepararemos. En la última
convocatoria
76
opositores
aprobaron con nuestros textos.
Quince de ellos quedaron entre
los diez primeros».
«El baile de anoche en
Fuenterrabía estuvo amenizado
por un numeroso cuarteto».
«El número premiado hoy es el
cuatrocientos veinticinco.
Repetimos: cinco-nueve-tres».

El papiro Rhind (problema 79)
En 1858 el egiptólogo escocés
A. Henry Rhindcompró en
Luxor (Egipto) el papiro que
actualmente se conoce como
papiro Rhind o de Ahmes,
encontrado en las ruinas de un
antiguo edificio de Tebas. Fue
escrito por el escriba Ahmes
aproximadamente en el año
1650 antes de nuestra era.

El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm
de ancho. Representa la mejor fuente de
información sobre matemática egipcia
antigua conocida.

Comienza con la frase:“Cálculo exacto para entrar en
conocimiento de todas las cosas
existentes y de todos los oscuros
10
secretos y misterios.”

El papiro Rhind (problema 79)

Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución.
Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas,
fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones,
repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales
y trigonometríabásica. El problema 79 es de combinatoria.
Veamos una versión “moderna”...
11

La regla del producto
Según iba a St. Ives
me crucé con un hombre con 7
esposas.
Cada esposa tenía 7 sacos,
cada saco tenía 7 gatos,
cada gato tenía 7 gatitos.
Gatitos, gatos, sacos y
esposas.
¿Cuántos iban a St. Ives?
St. Ives Mother Goose
(La mamá oca de San Ives)
12

Diagramas en árbol o árboles (un tipo sencillo degrafos)
You are eating at Emile’s restaurant and the waiter informs you that you have (a)
two choices for appetizers: soup or juice; (b) three for the main course: a meat,
fish, or vegetable dish; and (c) two for dessert: ice cream or cake. How many
possible choices do you have for your complete meal?

La solución
es el número
de ramas finales
del árbol.

El total de posibilidades será: 2

.3 .2= 12

13

Principio multiplicativo (ilustración gráfica)
a2

a1

b1
c1

b3

b2

c2 c1

c2

c1 c2

b1
c1

b2
c2 c1 c2

b3
c1

c2

El primer elemento puede escogerse de dos
formas distintas: a1 y a2.
El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3.
El tercer elemento puede escogerse en dos modos
distintos: c1 y c2.
El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12

14

Alfabeto Braille

¿Cuántossímbolos distintos pueden representarse?

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 → 63
1

2

3

4

5

6

15

Musikalisches Würfelspiel y otras creaciones combinatorias

Wolfgang Amadeus Mozart
“juego de dados musical”.

Un minueto tiene 16 compases.
Mozart dejó escritos 16 grupos
de 11 compases, o sea, un total
de 176 compases distintos. Por
ejemplo, este es uno de esos
compases pre-escritos:

Ahora, elprimer compás de los 16 que
formarán el minueto se escoge al azar
lanzando dos dados: el lanzamiento de los
dos dados nos da 11 posibilidades, desde
que sumen conjuntamente 2 a que sumen 12.
Ese número nos dice qué compás de los 11
posibles del primer grupo podemos escoger.
He escogido al azar este primer compás:
16

Para generar el segundo tengo también
11 posibilidades. Lanzo los dados y me
sale5 + 2 = 7; o sea, cojo el número 7
de los posibles 11 del segundo grupo.
Este compás suena así:

Vemos que tenemos 11 x 11 = 121
posibilidades para la combinación de los
dos primeros compases. Y en total
tendremos:
16
×
×

×
=
=
11
11
11
11


16

45.949.729.863.572.161 ≈ 4,6 × 1016
Escuchemos un posible resultado:
(Ejecutar «Mozart Dice»)
Si para tocar cada uno de ellos tardáramos...