1 Dimensiones Y Vectores

Física
Grado en Ingeniería de
Organización Industrial

Hoja 1
Dimensiones y vectores

Curso 2013 - 2014

1. Considera la ecuación v =

1
3

⋅zxt 2. Las dimensiones de las variables x, v y t son [x] = L, [v] = LT-1 y [t] = T.

¿Cuáles deben ser las dimensiones de la variable z para que la ecuación sea consistente?. Sol: [z] = T -3
2. Un punto material se mueve en línea recta con una aceleracióna(t ) = a0 t + a1 eγ t + a2 sen(ω t ) . Determinar las
dimensiones de a0, a1, a2, γ y ω. Sol.: [a0] = LT -3 ; [a1] = [a2] = LT –2 ; [γ] = [ω] = T –1.
3. Si en las siguientes expresiones [a] = L/T2, [v] = L/T, [x] = L y [t] = T, ¿cuál de ellas es dimensionalmente
x
v2
incorrecta? a) v 2 = 2 ax , b) v = at ; c) v = + at 2 ; d) x =
Sol.: c
t
a
4. Dados los vectores de la figura, hallar:
a) Su sumageométricamente.
b) Las componentes de cada vector en el sistema de referencia dado.
c) Las componentes del vector suma.
d) El ángulo que forman el vector suma y el vector mayor.
Sol.: b) (6,0) , (5 3 2 , 5 2) , (−2,2 3 ) ;c) (4 + 5

Y
90º
4

5
30º

X

6

3 5
, + 2 3) ; d) 35,56º
2 2

5. Dados los puntos P (-1, 0, 2) y Q (2, -3, - 5), hallar: a) el vector r = QP ; b) el vector unitario paralelo a r , ur ;
c) el ángulo que forma el vector r con cada uno de los ejes de coordenadas.
3
3
7
Sol: a) r = (−3,3,7) ; b) u r = ( −
c) γx = 111,5º; γy = 68,5º; γz = 31,1º
;
;
67 67 67
Y
X
6. El vector a del dibujo tiene un valor de 10 unidades. Determinar las coordenadas de
este vector: a) respecto de los ejes XY;, b) respecto de los ejes X’Y’.

Y

Sol: a) a x = 5 3 , a y = 5 ; b) a x ′ = 7, 7 ; a y ' = 6,4 .

40
º 30 X
º

7. Dados los vectores: a = − i + j + 4k , b = −3i + j − 7k y c = 4i + 7 j + 6k , hallar:
a) a + b ,

c − a , a ⋅ b , a × b , a ⋅ (b × c)

b) El ángulo entre a y b.
Sol: a) (-4, 2,-3); (5, 6, 2); -24; (-11,-19, 2); -165; b) 137,43º
2
da
y ∫ a dt
1
dt
2
da
35
3
15
= 10t ⋅ i + j − 3t 2 ⋅ k ; ∫ a dt = i + j − k
Sol:
1
dt
3
2
4

8. Dado el vector a = 5t ⋅ i + t ⋅ j − t 3 ⋅ k ,calcular
2

9. Hallar un vector unitario en el plano OYZ y perpendicular al vector v = 2i + j − 3k Sol.: ( 3 j + k ) / 10
10. Justificar razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Si a + b = a − b , entonces los vectores a y b son perpendiculares.
b) Sean s = a + b y d = a − b , si s y d son perpendiculares entonces a = b

du
son perpendiculares.
dt
d) Si el módulo delproducto vectorial de dos vectores coincide con el valor de su producto escalar, los vectores
forman un ángulo de 30º.
Sol.: a, b y c ciertas, d falsa.

c) Si el módulo del vector u(t) es constante en el tiempo, entonces u(t) y

AUTOEVALUACIÓN
11. El período de un péndulo ideal es proporcional a alguna potencia de su longitud y a alguna potencia de la
aceleración de la gravedad g. Determinar losexponentes de esas potencias. Sol.: l1/2 y g−1/2
12. Según la ley de la Gravitación Universal de Newton, la intensidad de la fuerza atractiva entre dos cuerpos de
mm
masas m1 y m2 separados una distancia r es F = G 1 2 2 . Teniendo en cuenta que en el SI de unidades F se
r
mide en kg⋅⋅m⋅s−2, m1 y m2 en kg y r en m, determinar las unidades de G. Sol.: kg−1⋅m3⋅s−2
13. Convertir en unidades del SI: a) Unavelocidad de 108 km/h, b) Una densidad de 13,6 g/ml; c) Una presión de
1,8 kp/cm2 (1 kp = 9,8 N) y d) La constante R = 0,082 atm·L/K·mol (1 atm = 101300 Pa)
Sol: a) 30 m/s;b) 13600 kg/m3; c) 176400 Pa; d) 8,31 Pa·m3/K·mol
14. Se tienen tres vectores a , b y c concurrentes en el plano XY cuyos módulos son a = 6, b = 3 y c = 4 y que
forman respectivamente ángulos de 45º, 30º y −60º con el eje X.calcular el módulo de la suma y el ángulo que
forma con el eje X. Sol.: 9,13; 14,45º
15. Sobre el cuerpo de la figura actúan las fuerzas que se indican. Calcular el valor de
cada una de esas fuerzas para que la fuerza resultante, la suma de todas ellas, sea
nula, sabiendo que F1 forma 30º con la horizontal, el valor de F4 es de 500 N y
que el módulo de F3 es la mitad del módulo de F2 .
Sol.: F1 =...