1 Espacios vectoriales

Serie Tema 1: Espacios vectoriales
1 Sean A= {(x, y, z) | x + 2y – z = 0; x, y, z ∈ ℝ} y B = {(y – z, y, z) | y, z ∈ ℝ}
dos subconjuntos de ℝ 3. Determinar si A ∩ B es un subespacio de ℝ3. En
casoafirmativo, obtener una base y la dimensión de A ∩ B. En caso
negativo, explicar porque A ∩ B no es un subespacio de ℝ 3
2.- Sean el espacio vectorial real P2 = {ax2 + bx + x | a, b, c, ∈ ℝ} y
D = {p(x) | p (0) = 3} un subconjunto de P2. Determinar si D es un subespacio
de P2

3.- El espacio renglón de la matriz N =

3 a 2
3 b 5
5 c 3

es L (Nr) = {(m, n, m+n)

| m, n ∈ ℝ}

a) Determinar el valorde cada uno de los elementos a, b y c
b) Con los valores obtenidos en el inciso anterior, determinar el espacio
columna de N
c) Obtener el rango de N

4.- Sea el espacio vectorial complejo 2 = {(x, y)| x, y ∈ con las
operaciones de adición y multiplicación por un escalar definidas por
(x, y) + (z, w) = (x + z, y + w)
k(x, y) = (kx, ky)
 (x, y), (z, w) ∈
bases de 2

,k∈

2

y sean A = { (1, i),(i, 0) } y B = { ( 2, i), (0,i) } dos

Obtener
a) La matriz de transición de la base A a la base B
b) El vector de coordenadas de u = (-1, 2i) respecto a la base A

5.- Sea el conjunto A= { (2, -2,-4), (-1, 2, 3), (3, -2, -5), (1, 0, -1) }
Determinar
a) El espacio W generado por A
b) Una base y la dimensión de W
c) Si el vector v = (3, 2, 1) pertenece a W

6.- Sea V el espacio vectorial real dosde cuyas bases son
E = { x2, x2 + x, x2 + x + 1 } y F = { w 1, w 2, w 3 }. La matriz de transición de la
base E a la base F es

M

A
B

=

1 1 1
0 1 1
0 0 1

y el vector de coordenadas del vector v  Vrespecto a la base F es
4
[ v ]F =  5

7
Determinar:
a) Los vectores de la base F
b) El vector de coordenadas de v respecto a la base E

7.- Sean A = { (x, y, z) | x + 2y – z = 0; x, y, z ∈ ℝ } y B= { (y-z, y, z) | y, z ∈ ℝ }
dos subconjuntos de ℝ3 . Determinar si A  B es un subespacio de ℝ3. En
caso afirmativo, obtener una base y la dimensión de A  B. En caso
negativo, explicar porque A ...